逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。

乘法原理和加法原理与逻辑代数的关系

简介

逻辑代数中的几个概念

逻辑代数的基本规则(代入规则 对偶规则 反演规则)

逻辑函数的标准形式(最小项 最大项)

逻辑函数的化简

其他

乘法原理和加法原理与逻辑代数的关系

1、与逻辑和乘法

乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。

2、或逻辑和加法

加法原理中自变量是因变量成立的充分条件，或逻辑的定义正好和加法原理的描述一致，所以或逻辑和加法对应。

乘法就是广义的与逻辑运算，加法就是广义的或逻辑运算。与逻辑运算可以看作是乘法的特例。或逻辑运算可以看作是加法的特例。

总之，乘法原理、加法原理可以看作是与逻辑和或逻辑的定量表述；与逻辑和或逻辑可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。

自然逻辑： 上下左右前后内外中

上

左 中 右

下

这个宇宙是以三进制而存在的。

十进制，三的存在？：任意一个几何图形都可以分解成九个与之一模一样的小的图形。九是由三构成的，所以三存在！

关于椭圆：椭圆可以分解成八个与之一模一样的小的图形及两个半体图形，合起来还是九个。

简介

逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。

一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑；

另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。

依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。

即任意多状态的逻辑是完备的。

当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。

逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。

逻辑代数中的几个概念

参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。正、负逻辑规定：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)

逻辑代数的基本规则

代入规则

任何一个含有变量 X 的等式，如果将所有出现 X 的位置，都代之以一个逻辑函数 F，此等式仍然成立。

对偶规则

设 F 是一个逻辑函数式，如果将 F 中的所有的 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F'，这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等，则它们各自的对偶式 F' 和 G' 也相等。

反演规则

当已知一个逻辑函数 F，要求 ¬F 时，只要把 F 中的所有 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，即得 ¬F。

逻辑函数的标准形式

逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SP form)。

逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。

最小项

对于 n 个变量的逻辑函数而言，它的与项如果包含 n 个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。

最大项

对于 n 个变量的逻辑函数而言，它的或项如果包含 n 个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。

逻辑函数的化简

运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换，从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式，它们的判别标准有两条：(1)项数最少；(2)在项数最少的条件下，项内的文字最少。卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律，使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现，从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。

其他

逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有0和1两种逻辑值， 有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。

逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。

逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。

当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。

一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑；

另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。

依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。

即任意多状态的逻辑是完备的。

当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。

逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治 布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。

其规定：

1．所有可能出现的数只有0和1两个。

2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。

与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为：

0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1

或运算（逻辑或、逻辑加）定义为：

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

至此布尔代数宣告诞生。

二、基本公式

如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：

A·A=A A+A=A

A·0=0 A+0=A

A·1=A A+1=1

上述公式的证明可用穷举法。如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式即告成立。

类代数　类代数是类逻辑的代数化。所谓类逻辑是从外延上理解的一阶一元谓词的逻辑。一元谓词的外延指称该谓词所适用的个体的类。由论域中所有个体组成的类叫全类，记作 1。不含有任何事物的类叫空类，记作0。考虑全类的所有子类，即包含于其中的类（包括1和0），令a,b,с,…为这样的类变元。由论域中不属于a类的个体组成的类叫做a的补，记作a'。由或属于a类或属于b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑和（并类）,记作a∪b。由既属于 a类又属于 b类的个体组成的类叫做a与b的逻辑积（交类），记作a∩b，简记作ab。如果a类与b类所含的个体相同,则称a与b等同,记作a=b。a与b不等同记作a≠b。1和0是两个特定的类常元。',∪和∩是三种逻辑运算，分别叫类的取补、求和（加法）和求积（乘法）。此外，还可以通过定义引入包含于关系吇，例如把a吇b定义为a∩b' =0。于是自然有:对于任何类a,0吇a吇1。

在类代数中，不带有主词存在断定的直言命题aAb、aEb、aIb和aOb，可表示为a∩b'=0、a∩b=0、a∩b≠0和a∩b' ≠0。传统逻辑中三段论第1格 AAA式可表示为：

如果с∩b' =0且a∩с' =0，则a∩b' =0。第3格EIO式可表示为：

如果с∩b=0且с∩a≠0，则a∩b' ≠0。类代数的运算满足下表中列出的基本定律。

类代数的基本定律

幂等律　a∪a=a

a∩a=a

交换律　a∪b=b∪a

a∩b=b∩a

结合律　a∪(b∪с)=(a∪b)∪с

a∩(b∩с)=(a∩b)∩с

吸收律　a∪(a∩b)=a

a∩(a∪b)=a

分配律　a∪(b∩с)=(a∪b)∩(a∪с)

a∩(b∪с)=(a∩b)∪(a∩с)

幺元律　0∪a =a

1∩a =a

1∪a =1

0∩a =0

补余律　a∪a' =1

a∩a' =0

从这些定律出发，特别是只需以其中的交换律、分配律、前两个幺元律和补余律作为初始定律即公理，就可以推导出类逻辑的所有定律（定理）。类逻辑的内容比传统的三段论理论要丰富得多，大致相当于只包含一元谓词的一阶谓词逻辑（见谓词逻辑）。一般的谓词逻辑也可以用更进一步的代数方法处理，但已超出通常所谓的逻辑代数的范围。

命题代数　命题代数在结构上与类代数完全相同。只要对类代数中的符号另作命题逻辑的解释，或者干脆改为相应的命题逻辑符号，就得到命题代数。即把类变元改为命题变元p,q,r,…；改为否定词填（“并非”）；∪改为析取词∨（“或者”）；∩改为合取词∧（“并且”）。1和0分别解释为特定的逻辑上真的命题和逻辑上假的命题,或称有效命题和矛盾命题;=表示两命题逻辑上等值。这时，填、∨和∧作为命题运算正好满足形式上与类代数的基本定律相对应的定律，而整个命题代数可包括命题逻辑的全部内容。命题代数和类代数可以有各种形式的公理系统，尤其是都可以有关于布尔展开式的定理，它相当于命题逻辑中的优析取范式和优合取范式的定理。

逻辑代数与命题代数有所不同。它还可以把1和0分别解释为命题的真和假,令变元只取1和0为值,即令其为二值的真值变元,并把填、∨和∧解释为真值运算,从而得到一种提供命题真值运算定律的真值代数。而且，在二值的真值代数中特别可以有定理“p=1或p=0”，但在一般的命题代数和类代数中却没有与此相应的定理。