定义

sinx的导数(正弦函数 sin(x)的导数 为什么sin(x)的导数=cos(x))

定义

SinX是正弦函数，而CosX是余弦函数，两者导数不同，SinX的导数是CosX，而CosX的导数是 —SinX，这是因为两个函数的不同的升降区间造成的

sinx的导数

sinx的导数是cosx(其中X是常数）

曲线上有两点(X1,f（X1）),(X1+△x,f（x1+△x）).当△x趋向0时,△y=(f（x1+△x）-f（x1）)/△x 极限存在，称y=f(X)在x1处可导，并把这个极限称f(x)在X1处的导数,这是可导的定义．

增量△y=f(x+△x)-f(x) 不除△x．

根据定义，有(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x),其中△x→0,将sin(x+△x)-sinx展开，就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx,由于△x→0,故cos△x→1,从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x,于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x,这里必须用到一个重要的极限，当△x→0时候，lim(sin△x)/△x=1,于是(sinx)’=cosx.

正弦函数 sin(x)的导数

正弦函数 sin(x)的导数(导函数)是余弦 cos(x)，推算过程：　前提是两个东西要先记住:

sin A - sin B = 2 *(cos （A + B）/2) * (sin （A - B）/2)

以及

lim q -> 0 (sin（q）)/q = 1

先要证明

lim (sin θ)/θ = 1

θ→0

然后

sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) （三角函数和差化积公式）

y = f(x) = sin(x)

dy/dx

=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

Δx→0

=lim[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx

Δx→0

=lim{2cos[(2x+Δx)/2]sin[(x+Δx-x)/2]}/Δx

Δx→0

=lim2[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2]/Δx

Δx→0

=lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2]/(Δx/2)

Δx→0

=cosx × 1

=cosx

求sin x与cos x的 n 阶导数：

(sinx)'=cosx

(sinx)''=(cosx)'=-sinx=sin(x+pi/2)

(sinx)'''=(-cosx)'=sinx=sin(x+3pi/2)

(sinx)^(4)=(sinx)'=cosx=sin(x+4pi/2)

…………………………经过归纳得到

(sinx)^(n)=…………………=sin(x+npi/2)

定义余弦函数也是同样的。

为什么sin(x)的导数=cos(x)

根据导数定义

(sinx)'=lim<△x→0>[sin(x+△x)-sinx]/△x

sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

注意△x→0时, [sin(△x/2)]/(△x/2)→1

所以(sinx)'=lim<△x→0>[2cos(x+△x/2)sin(△x/2)]/△x

=lim<△x→0>[cos(x+△x/2)][sin(△x/2)]/(△x/2)

=cosx

证明完毕. 按照三角函数公式和导数的定义就可以证明 lim(Δy/Δx) Δx->0 =lim{[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx} Δx->0 =lim[2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx] Δx->0 =lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx/2] Δx->0 由cos(x)的连续性，有limcos(x+Δx/2) = cos(x) Δx->0 以及lim[sin(Δx/2)/Δx/2] = 1 Δx->0 故得 lim(Δy/Δx) Δx->0 =limcos(x+Δx/2)*lim[sin(Δx/2)/Δx/2] Δx->0 Δx->0 =cos(x)*1 =cos(x)