一、基本原理：

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的欧拉公式有：

yi+1=yi+h*K1

K1=f(xi,yi)

当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：

yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h,yi+h*K1)

依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)

K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)

K4=f(xi+h,yi+h*K3)

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式

（1）

计算公式（1）的局部截断误差是 。

龙格-库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数等优点，但仍需计算 在一些点上的值，如四阶龙格-库塔法每计算一步需要计算四次 的值，这给实际计算带来一定的复杂性，因此，多用来计算“表头”。

二、小程序

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#define f(x,y) (-1*(x)*(y)*(y))

void main(void)

{

double a,b,x0,y0,k1,k2,k3,k4,h;

int n,i;

printf("input a,b,x0,y0,n:");

scanf("%lf%lf%lf%lf%d",&a,&b,&x0,&y0,&n);

printf("x0\\ty0\\tk1\\tk2\\tk3\\tk4\");

for(h=(b-a)/n,i=0;i!=n;i++)

{

k1=f(x0,y0);

k2=f(x0+h/2,y0+k1*h/2);

k3=f(x0+h/2,y0+k2*h/2);

k4=f(x0+h,y0+h*k3);

printf("%lf\\t%lf\\t",x0,y0);

printf("%lf\\t%lf\\t",k1,k2);

printf("%lf\\t%lf\",k3,k4);

y0+=h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

x0+=h;

}

printf("xn=%lf\\tyn=%lf\",x0,y0);

}

运行结果：

input a,b,x0,y0,n:0 5 0 2 20

x0 y0 k1 k2 k3 k4

0.000000 2.000000 -0.000000 -0.500000 -0.469238

-0.886131

0.250000 1.882308 -0.885771 -1.176945 -1.129082

-1.280060

0.500000 1.599896 -1.279834 -1.295851 -1.292250

-1.222728

0.750000 1.279948 -1.228700 -1.110102 -1.139515

-0.990162

1.000000 1.000027 -1.000054 -0.861368 -0.895837

-0.752852

1.250000 0.780556 -0.761584 -0.645858 -0.673410

-0.562189

1.500000 0.615459 -0.568185 -0.481668 -0.500993

-0.420537

1.750000 0.492374 -0.424257 -0.361915 -0.374868

-0.317855

2.000000 0.400054 -0.320087 -0.275466 -0.284067

-0.243598

2.250000 0.329940 -0.244935 -0.212786 -0.218538

-0.189482

2.500000 0.275895 -0.190295 -0.166841 -0.170744

-0.149563

2.750000 0.233602 -0.150068 -0.132704 -0.135399

-0.119703

3.000000 0.200020 -0.120024 -0.106973 -0.108868

-0.097048

3.250000 0.172989 -0.097256 -0.087300 -0.088657

-0.079618

3.500000 0.150956 -0.079757 -0.072054 -0.073042

-0.066030

3.750000 0.132790 -0.066124 -0.060087 -0.060818

-0.055305

4.000000 0.117655 -0.055371 -0.050580 -0.051129

-0.046743

4.250000 0.104924 -0.046789 -0.042945 -0.043363

-0.039833

4.500000 0.094123 -0.039866 -0.036750 -0.037072

-0.034202

4.750000 0.084885 -0.034226 -0.031675 -0.031926

-0.029571

xn=5.000000 yn=0.076927