良序的定义

良序的例子及反例

良序的性质

良序的等价条件

良序的定义

设集合(S,≤)为一全序集，≤是其偏序关系，若对任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。

良序的例子及反例

1、自然数集在通常序下是良序集。

2、整数集在通常序下不是良序集，例如该集合本身就没有一个最小元素。

3、整数的下列关系R是良序的：x R y，当且仅当下列条件之一成立：

x=0；

x是正数，而y是负数；

x和y都是正数，而x≤y；

x和y都是负数，而y≤x。

这个序关系可以表示为：

0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……

4、实数集在通常序下不是良序集。

良序的性质

在良序集合中，除了整体上最大的那个（如果存在的话），所有的元素都有一个唯一的后继元：比它大的元素组成的集合中，最小的元素。但是，除整体最小元之外的所有元素不一定都有前驱元。例如，“良序的例子和反例”一节第三个例子中的良序集中，-1并不是最小元，但仍然没有前驱元。

任何良序集合，都序同构于一个唯一的序数，称为这个集合的序型。该集合中的每个元素都对应着一个比其序型小的序数。

良序的等价条件

对全序集(S,≤)，下列命题是等价的：

（1）(S,≤)是良序集，即其所有非空子集合都有最小元素。

（2）超限归纳法在整个全序集(S,≤)上成立。

（3）(S,≤)上的所有严格递减序列必定在有限多步骤内终止（假定依赖选择公理）。

证明：使用循环证明法。

（1）→（2）：反设超限归纳法在(S,≤)上不成立，则存在一个性质φ，使得对S中任意元素x，只要φ对S中小于x的任何元素都成立，那么φ对x也成立，然而φ并非对S中所有元素都成立，即S中所有不满足φ的元素组成的集合A是非空集，则A在序关系≤下不可能有最小元素，否则该最小元素应满足φ，矛盾。

（2）→（3）：对序列的首项使用超限归纳法，则结论是显然的。

（3）→（1）（依赖选择公理）：对S的任一非空子集A，用选择公理每次从A中选出一个元素，使得从第二次开始每次选出的元素都比前一次的小，则选出的所有元素构成一严格递减序列，该序列必定在有限步内终止，但序列终止的唯一可能是选出了一个元素x使得A中没有比x小的元素，从而x是A中的最小元素。