简介

与选择公理的关系(ZFC中的证明 反推选择公理)

意义

简介

良序定理声称所有集合都可以被良序排序。在ZF公理集合论系统中，它与选择公理和佐恩引理是等价的。

与选择公理的关系

ZFC中的证明

良序定理是一条ZFC公理集合论系统中的定理。它可以由佐恩引理证明如下：

对任意集合S，为了证明存在S上的一个良序，令集合P为所有S的子集上的良序（严格来说，P的元素是S的子集和其上的良序关系组成的有序对）。对任意A，B∈P，定义A≤B当且仅当A是B的一个前段。(P,≤)构成一偏序集，且对这个偏序集的任意链，取其中所有良序的并，则得到这条链的一个上界。应用佐恩引理，得到P有一个极大元M。M必然是整个S的一个偏序，否则若x是不在M中的一个S的元素，把x接到M后面得到M'，则M'∈P且M≤M'，与M的极大性矛盾。定理得证。

反推选择公理

在ZF中，由良序定理可以简单地证明选择公理：

对任意由非空集合组成的集合A，取A的并集S，由良序定理，S是可以良序的。A中的任意集合X都是S的非空子集，故根据这个S的良序，可以选出一个最小元素x。这种选择是满足替换公理模式的条件的，故应用替换公理模式，即证明了选择公理。

由此可见，在ZF中良序定理和选择公理是等价的，故在有些ZFC公理系统的表示中，良序定理代替了选择公理。

意义

良序定理是非常重要的，因为它确保所有集合适用超限归纳法的强力技术。

康托尔认为良序定理是“思维的基本原理”。但是多数数学家发现想象如实数集合R这样的良序集合是困难的。在 1904年，Julius König声称已经证明了这种良序不能存在。几周之后，费利克斯·豪斯多夫在他的证明中发现了一个错误。恩斯特·策梅洛接着引入了选择公理作为证明良序定理的“不讨厌的逻辑原理”。这揭示了良序定理等价于选择公理，在它们中的一个和Zermelo-Fraenkel公理一起足够证明另一个的意义上。

良序定理已经推出似乎是悖论的推论，比如巴拿赫-塔斯基悖论。