函数的连续性

简介

函数增量

连续函数的概念

函数的间断点

法则

函数的连续性

在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

简介

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

函数增量

设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x 即：△x=x2-x1 增量△x可正可负。也就是说，改变量可以是正的，也可以是负的。

连续函数

如图：正方形的边长X产生一个*X的改变量，面积Y改变了多少：

边长为X时，正方形的面积为Y等于X的二次方，如果边长为X+*X，则面积为Y+*Y等于X+*X的二次方，因此，面积的改变量为*Y等于X+*X的二次方减X的二次方，或等于2X乘以*X加上*X的二次方。

连续函数的概念

设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有 lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点。 设函数在区间(a,b]内有定义，如果f(x)在x=b的左极限存在且等于f(b)，即： lim(x->b-) f(x)=f(b)，那么就称函数在点b左连续。设函数在区间[a,b)内有定义，如果f(x)在x=a处右极限存在且等于f(a)，即： lim(x->a+) f(x)=f(a)，那么就称函数f(x)在点a右连续。一个函数在开区间(a，b)内每点连续，则为在(a，b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续。

函数的间断点

如果函数f(x)在点x0处有下列三种情形之一，则点x0为f(x)的间断点：

1.在点x0处f(x)没有定义；2.不存在；3.虽然f(x0)有定义，且存在，但不等于f(x0)。

如图所示

法则

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和，积，商(分母不为 0) 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。