“立方根”的意思、由来-中文百科全书

立方根的概念

读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。（a可以等于0）

求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

所有实数有且只有一个立方根。立方根的性质： (1)正数的立方根是正数．(2)负数的立方根是负数．(3)0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root,也叫做三次方根）。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。

立方根如何与其他数作比较？

（1）做这两个数的立方

（2）作差

（3）比较被开方数（如三次根号3大于三次根号2）

平方根与立方根的区别与联系

一、区别

（1）根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。

（2）被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以为任何数。

（3）结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；立方根的结果只有一个。

二、联系

二者都是与乘方运算互为逆运算

三、例题解析

例1 下列说法，正确的有（）

（1）只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a ，那么a ；（3）如果a ，那么；（4）立方根等于它本身的数有0，1，-1 ;（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。

A．1个 B 2个 C3个 D4个

分析；依平方根与立方根的概念及性质解。

解：（1）负数也有立方根，故（1）错。（2）当时，a 故（2）错。（3）当a 时， ,正确。（4）因03=0，13=1,(-1)=-1,所以0, 的立方根都是它们本身，正确。（5）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以它的平方根必有一负，而正数的立方根为整数，错。

立方根例题

一、填空题：

1．一个正数a的立方根，用符号“________”表示，其中a叫做________，根指数是________．

2．平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．

3．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．

4．0.25的算术平方根是________．

5．9的算术平方根是________，的算术平方根是________．

6．36的平方根是________，若，则x=________．

7．8的立方根是________，49的平方根是________，100的算术平方根是________．

8．81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是________，平方根的倒数是________，平方根的绝对值是________．

9． 0.001开立方，则x=________．

10．当 a________时，开平方有意义．

二、判断并加以说明．

1．3 的平方是9；（）

2．1的平方根是1；（）

3．0的平方根是0；（）

4．无理数就是带根号的数；（）

5．的平方根是；（）

6．是25的一个平方根；（）

7．正数的平方根比它的平方小；（）

8．除零外，任何数都有两个平方根；（）

9． 0的平方根是0 ；（）

10． 0没有平方根；（）

11．零是最小的实数；（）

12．23是的算术平方根．（）

三、选择题：

1．下列说法正确的是（）．

A．的算术平方根是 B．的平方根是

C．的算术平方根是 D．的平方根是

2．在四个数0，，2，中，有平方根的是（）．

A．0与 B．0，与

C．0与 D．0，2与

3．若，则x为（）．

A．1 B． C． D．

4．的平方根是（）．

A．3 B． C．9 D．

5．的算术平方根是（）．

A．16 B． C．4 D．

6．如果有意义，则x的取值范围是（）．

A．x≥0 B．x>0 C．x> D．x≥

7．如果一个自然数的平方根是 (a≥0)，则下一个自然数的平方根为（）．

A． B． C． D．

8．下列叙述正确的是（）．

A．是7的一个平方根 B．11的平方根是

C．如果x有算术平方根，则x>0 D．

9．计算的平方根，下列表达式正确的是（）．

A． B．

C． D．

10．下列各式中正确的是（）．

A． B．

C． D．

四、分别求出下列各数的平方根．

1．36 2．0.0081 3．169 4．

5． 6．40000 7． 8．

五、分别求出下列各数的算术平方根．

1．0.0169 2．225 3．100

4． 5．16 6．25

六、x为何值时，下列各式有意义？

1． 2． 3． 4．

5． 6． 7． 8．

9． 10．

参考答案

一、1．；被开方数；2 2．0；0或1 3．正数；零；负数

4．0.5 5．3；3（∵ ，∴ 的算术平方根即9的算术平方根）

6．±6；±6 7．±2；±8；8 8．±9，9，－9，± ，9，9.0 10．a≥1

二、1．√ 2．×（是±1） 3．√ 4．×（） 5．×（－1没有平方根）

6．√ 7．×（如0.1） 8．×（负数没有） 9．×（，－4没有平方根）

10．×（有，是正数，结果为） 11．×（没有） 12．√

三、1．D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．D

四、1．±6 2．±0.09 3．±13 4．± 5．±71

6．±200 7．± 8．±0.1

五、1．0.13 2．15 3．10 4．12 5．4 6．5

六、1．x≥0 2x≥－1 3．x≥1 x为任意实数 5．x>－2 6．x>0

7．x为任意实数 8．x≥0 9．x≥ 10．x≥－2

还有啊

一、填空题：

1．36的倒数的算术平方根的相反数是________．

2．的最小值是________，此时a的取值是________．

3．的算术平方根是2，x=________．

4．已知正数a和b，有下列命题：

（1）若，则 ≤

（2）若，则 ≤

（3）若，则 ≤

根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则 ≤________．

5．如果x的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________．

6．一个正数的两个平方根的和是________．

7．一个正数的两个平方根的商是________．

8．如果，那么x=________；如果，那么 ________．

9．当时， ________．

10．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________．

二、选择题：

1．下列说法正确的是（）．

A．的平方根是

B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数

C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数

D．2是4的平方根

2．的平方根是（）．

A． B．12 C D．

3．下列各数没有平方根的是（）．

A．18 B． C． D．11.1

4．如果有意义，则x可以取的最小整数为（）．

A．0 B．1 C．2 D．3

5．的值是（）．

A． B．3 C． D．9

6．下列说法不正确的是（）．

A．表示两个数：或

B．在数轴上表示正数的两个平方根的两个点，总是关于原点对称

C．正数的两个平方根的积为负数

D．的指数是2

三、判断并加以说明．

1．无理数没有平方根；（）

2．任何数的平方的算术平方根都存在，并且都是正数；（）

3．0一定没有平方根；（）

4．2b是4 的算术平方根；（）

5．是1的算术平方根；（）

6． =1．（）

四、计算：

1． 2． 3． 4．

五、求下列各式中x的值．

1． 2． 3． 4．

六、下列各式中，哪些有意义？

（1）（2）（3）（4）（5）

拓展练习

一、已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．

二、如图所示，已知正方形ABCD的面积是49平方厘米，正方形DFGH的面积是25平方厘米，且AH=DG=CF=BE，BF=CG=DH=AE，求AD的长；EF的长；△AEH的面积．

三、已知：，，且，求x．

参考答案

综合练习

一、1． 2．2；a=－1 3． 4． 5．－7.12 6．0 7．－1 8．±9；±3 9．3 10．0

二、1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D

三、1．×（有平方根） 2．×（0） 3．√ 4．×（b=－1时，不成立）

5．×（1是1的算术平方根） 6．√

四、1． 2．28 3．－5 4．

五、1．x=±5 2．或 3． 4．

六、（1）、（2）、（4）、（5）

拓展练习

一、解：由题意知：

，

∴

当a=5，b=2时，

∴ a+2b的平方根是±3．

二、解：∵ 正方形ABCD面积为

AH=DG=CF=BE

BF=CG=DH=AE

∴ AD=7cm

∵ 正方形EFGH的面积是 ∴ EF=5cm

又∵ 四边形ABCD是正方形

AH=DG=CF=BE

BF=CG=DH=AE

∴ △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE

∴ S△AEH= =

∴ AD=7cm

EF=5cm

三、x=±250

立方根函数的实现

C++实现

求立方根的牛顿法基于如下事实，如果y是x的立方根的一个近似值，那么下式将给出一个更好的近似值：

(x/y2+2y)/3请利用这一公式实现一个类似平方根过程的求立方根的过程。

代码:

#include<iostream>

#include <math>

using namespace std;

float fun(float guess,float x)

{

if(abs(guess*guess*guess-x)<0.0000001) return guess;

else

return fun((x/guess/guess+2*guess)/3,x);

}

int main()

{

float a,b;

while(cin>>a>>b)

cout<<fun(a,b)<<endl;

return 0;

}

JAVA实现

public class test { public static void main(String argv[])

{ System.out.println(Math.pow(27d,(1/3d))); }}公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^（k-1）-X_n]1/k}公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^（k-1）-X_n]1/k}"_"表示下角标，“^”表示上角标。例如，X^2,表示x的平方；X_1表示第一个X。

例如，A=5，k=3.?

公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3

　5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式：

第一步：X_1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。输入值大于输出值，负反馈；

即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，

2-0.25=1.75，取2位数值,即1.7。

第二步：X_2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。输入值小于输出值，正反馈；

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，

1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X_3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}。输入值大于输出值，负反馈

第四步：X_4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值，正反馈；

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。X_4=1.7099.

当然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个。

开平方公式

X（n + 1） = Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2.。（n，n+1与是下角标）

例如，A=5：

5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位数2.23。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取4位数。

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

词条	立方根
释义	如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根（cube root），也叫做三次方根。立方根的概念立方根如何与其他数作比较？平方根与立方根的区别与联系(一、区别二、联系三、例题解析) 立方根例题立方根函数的实现(C++实现 JAVA实现) 立方根的概念读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。（a可以等于0）求一个数a的立方根的运算叫做开立方。所有实数有且只有一个立方根。立方根的性质： (1)正数的立方根是正数．(2)负数的立方根是负数．(3)0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root,也叫做三次方根）。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。立方根如何与其他数作比较？（1）做这两个数的立方（2）作差（3）比较被开方数（如三次根号3大于三次根号2）平方根与立方根的区别与联系一、区别（1）根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。（2）被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以为任何数。（3）结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；立方根的结果只有一个。二、联系二者都是与乘方运算互为逆运算三、例题解析例1 下列说法，正确的有（）（1）只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果a ，那么a ；（3）如果a ，那么；（4）立方根等于它本身的数有0，1，-1 ;（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。 A．1个 B 2个 C3个 D4个分析；依平方根与立方根的概念及性质解。解：（1）负数也有立方根，故（1）错。（2）当时，a 故（2）错。（3）当a 时， ,正确。（4）因03=0，13=1,(-1)=-1,所以0, 的立方根都是它们本身，正确。（5）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以它的平方根必有一负，而正数的立方根为整数，错。立方根例题一、填空题： 1．一个正数a的立方根，用符号“________”表示，其中a叫做________，根指数是________． 2．平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________． 3．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根． 4．0.25的算术平方根是________． 5．9的算术平方根是________，的算术平方根是________． 6．36的平方根是________，若，则x=________． 7．8的立方根是________，49的平方根是________，100的算术平方根是________． 8．81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是________，平方根的倒数是________，平方根的绝对值是________． 9． 0.001开立方，则x=________． 10．当 a________时，开平方有意义．二、判断并加以说明． 1．3 的平方是9；（） 2．1的平方根是1；（） 3．0的平方根是0；（） 4．无理数就是带根号的数；（） 5．的平方根是；（） 6．是25的一个平方根；（） 7．正数的平方根比它的平方小；（） 8．除零外，任何数都有两个平方根；（） 9． 0的平方根是0 ；（） 10． 0没有平方根；（） 11．零是最小的实数；（） 12．23是的算术平方根．（）三、选择题： 1．下列说法正确的是（）． A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的平方根是 2．在四个数0，，2，中，有平方根的是（）． A．0与 B．0，与 C．0与 D．0，2与 3．若，则x为（）． A．1 B． C． D． 4．的平方根是（）． A．3 B． C．9 D． 5．的算术平方根是（）． A．16 B． C．4 D． 6．如果有意义，则x的取值范围是（）． A．x≥0 B．x>0 C．x> D．x≥ 7．如果一个自然数的平方根是 (a≥0)，则下一个自然数的平方根为（）． A． B． C． D． 8．下列叙述正确的是（）． A．是7的一个平方根 B．11的平方根是 C．如果x有算术平方根，则x>0 D． 9．计算的平方根，下列表达式正确的是（）． A． B． C． D． 10．下列各式中正确的是（）． A． B． C． D．四、分别求出下列各数的平方根． 1．36 2．0.0081 3．169 4． 5． 6．40000 7． 8．五、分别求出下列各数的算术平方根． 1．0.0169 2．225 3．100 4． 5．16 6．25 六、x为何值时，下列各式有意义？ 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10．参考答案一、1．；被开方数；2 2．0；0或1 3．正数；零；负数 4．0.5 5．3；3（∵ ，∴ 的算术平方根即9的算术平方根） 6．±6；±6 7．±2；±8；8 8．±9，9，－9，± ，9，9.0 10．a≥1 二、1．√ 2．×（是±1） 3．√ 4．×（） 5．×（－1没有平方根） 6．√ 7．×（如0.1） 8．×（负数没有） 9．×（，－4没有平方根） 10．×（有，是正数，结果为） 11．×（没有） 12．√ 三、1．D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．D 四、1．±6 2．±0.09 3．±13 4．± 5．±71 6．±200 7．± 8．±0.1 五、1．0.13 2．15 3．10 4．12 5．4 6．5 六、1．x≥0 2x≥－1 3．x≥1 x为任意实数 5．x>－2 6．x>0 7．x为任意实数 8．x≥0 9．x≥ 10．x≥－2 还有啊一、填空题： 1．36的倒数的算术平方根的相反数是________． 2．的最小值是________，此时a的取值是________． 3．的算术平方根是2，x=________． 4．已知正数a和b，有下列命题：（1）若，则 ≤ （2）若，则 ≤ （3）若，则 ≤ 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则 ≤________． 5．如果x的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________． 6．一个正数的两个平方根的和是________． 7．一个正数的两个平方根的商是________． 8．如果，那么x=________；如果，那么 ________． 9．当时， ________． 10．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________．二、选择题： 1．下列说法正确的是（）． A．的平方根是 B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D．2是4的平方根 2．的平方根是（）． A． B．12 C D． 3．下列各数没有平方根的是（）． A．18 B． C． D．11.1 4．如果有意义，则x可以取的最小整数为（）． A．0 B．1 C．2 D．3 5．的值是（）． A． B．3 C． D．9 6．下列说法不正确的是（）． A．表示两个数：或 B．在数轴上表示正数的两个平方根的两个点，总是关于原点对称 C．正数的两个平方根的积为负数 D．的指数是2 三、判断并加以说明． 1．无理数没有平方根；（） 2．任何数的平方的算术平方根都存在，并且都是正数；（） 3．0一定没有平方根；（） 4．2b是4 的算术平方根；（） 5．是1的算术平方根；（） 6． =1．（）四、计算： 1． 2． 3． 4．五、求下列各式中x的值． 1． 2． 3． 4．六、下列各式中，哪些有意义？（1）（2）（3）（4）（5）拓展练习一、已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．二、如图所示，已知正方形ABCD的面积是49平方厘米，正方形DFGH的面积是25平方厘米，且AH=DG=CF=BE，BF=CG=DH=AE，求AD的长；EF的长；△AEH的面积．三、已知：，，且，求x．参考答案综合练习一、1． 2．2；a=－1 3． 4． 5．－7.12 6．0 7．－1 8．±9；±3 9．3 10．0 二、1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 三、1．×（有平方根） 2．×（0） 3．√ 4．×（b=－1时，不成立） 5．×（1是1的算术平方根） 6．√ 四、1． 2．28 3．－5 4．五、1．x=±5 2．或 3． 4．六、（1）、（2）、（4）、（5）拓展练习一、解：由题意知：， ∴ ∴ 当a=5，b=2时， ∴ a+2b的平方根是±3．二、解：∵ 正方形ABCD面积为 AH=DG=CF=BE BF=CG=DH=AE ∴ AD=7cm ∵ 正方形EFGH的面积是 ∴ EF=5cm 又∵ 四边形ABCD是正方形 AH=DG=CF=BE BF=CG=DH=AE ∴ △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE ∴ S△AEH= = ∴ AD=7cm EF=5cm = 三、x=±250 立方根函数的实现 C++实现求立方根的牛顿法基于如下事实，如果y是x的立方根的一个近似值，那么下式将给出一个更好的近似值： (x/y2+2y)/3请利用这一公式实现一个类似平方根过程的求立方根的过程。代码: #include<iostream> #include <math> using namespace std; float fun(float guess,float x) { if(abs(guessguessguess-x)<0.0000001) return guess; else return fun((x/guess/guess+2guess)/3,x); } int main() { float a,b; while(cin>>a>>b) cout<<fun(a,b)<<endl; return 0; } JAVA实现 public class test { public static void main(String argv[]) { System.out.println(Math.pow(27d,(1/3d))); }}公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^（k-1）-X_n]1/k}公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^（k-1）-X_n]1/k}"_"表示下角标，“^”表示上角标。例如，X^2,表示x的平方；X_1表示第一个X。* 例如，A=5，k=3.? 公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3 　5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8） ? X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式：第一步：X_1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。输入值大于输出值，负反馈；即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25， 2-0.25=1.75，取2位数值,即1.7。第二步：X_2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。输入值小于输出值，正反馈；即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01， 1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。第三步：X_3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}。输入值大于输出值，负反馈第四步：X_4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值，正反馈；这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。X_4=1.7099. 当然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个。开平方公式 X（n + 1） = Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2.。（n，n+1与是下角标）例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位数2.23。第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取4位数。每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
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