数学原理

计算公式

进一步分析

数学原理

离散傅里叶级数（DFS）与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。

计算公式

周期为N的周期序列<math>\\left\\{ a_n\\right\\}</math>，其离散傅里叶级数为<math>\\left\\{ x_k \\right\\}</math>：

<math>x[k]=\\sum_{n=<N>} a_n\\cdot e^{-jn(\\frac{2\\pi}{N})k}</math>

其中，DFS的逆变换序列：

<math>a_n=\\frac{1}{N}\\sum_{k=<N>} x[k]\\cdot e^{jn(\\frac{2\\pi}{N})k}</math> （k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

进一步分析

连续周期信号的离散化（下面的讨论中，<math>\\omega_0=\\frac{2\\pi}</math>）：

首先，在傅里叶级数一文中，我们知道函数<math>f(t)=e^{j(\\frac{2\\pi})t}</math>是对于任意的T是周期为T的函数，然而其对应的离散信号则不一定是周期的，可以证明，只有当<math>\\frac{\\omega_0}{2\\pi}</math>是有理数时，离散信号f[n]才是周期函数。

其次，在满足条件1的前提下，连续周期信号<math>f_k(t)</math>对应的离散信号<math>f_k[n]=e^{jk(\\frac{2\\pi})n}</math>对k也具有周期性，其周期为N,即<math>f_k[n]</math>中只有N个不同的序列。

从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出，<math>a_k</math>也是对k周期为N的函数。

离散傅里叶变换实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。我们注意到，离散傅里叶变换是对非周期函数f[n]进行的，如果我们对f[n]的定义拓广为周期函数f'[n]：<math>f'[n]=\\sum _{i=-\\infty}^{+\\infty}f(n+i\\cdot N)</math>。并且当<math>N\\to \\infty</math>时，f'[n]实际上就是f[n]，那么我们现在可以求出f'[n]的傅里叶级数。同样，当<math>N\\to \\infty</math>时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数<math>X(e^{j\\omega})</math>（正如离散傅里叶变换一文中所述），这就是f[n]的离散时间傅里叶变换。这时，只需在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。