离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

对换实例(傅里叶变换的变换对 从连续到离散 DFT与CT DFT与DTFT 栅栏效应 频谱分辨率)

离散傅里叶变换的基本性质

对换实例

傅里叶变换的变换对

对于N点序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为

?

x

[k ] = N - 1

Σ

n = 0 e - i 2 π

– – – – –

N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.

其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即

?

x

= Fx

离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：

x[n ] = 1

––

N N - 1

Σ

k = 0 e i 2 π

–––––

N nk ?

x

[k ] n = 0,1, …,N-1.

可以记为：

x = F -1 ?

x

实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成1/ √

––

N

，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散

连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）?

x

( ω)

都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和?

x

都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。

x discrete (t) = x (t) N - 1

Σ

n = 0 δ(t-nT) = N - 1

Σ

n = 0 x (nT) δ(t-nT)

它的傅里叶变换为

?

x

discrete ( ω) = N - 1

Σ

n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1

––

T N - 1

Σ

n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T

这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号?

x

( ω)

应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为

1/T

–––––

1/L = N

即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为 { ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT频域上采样：

?

x

[k ] = ?

x

discrete ( ω k ) = 1

––

T N - 1

Σ

n = 0 f[n ]e - i 2 π

– – – – –

N n k

令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。

DFT与CT

下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系。

Fx ( ω) = ?

x

( ω) = 1

––

L ∫ L

0 x (t)e - i ω t dt

其采样为

?

x

( ω k ) = 1

––

L ∫ L

0 x (t)e - i ω k t dt

将这个积分以黎曼和的形式近似，有

?

x

( ω k ) ≈ 1

––

L N - 1

Σ

n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1

––

N ?

x

[k ]

DFT与DTFT

参见离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT为：

?

x

(e i ω ) = N - 1

Σ

n = 0 x[n ] e - i n ω

对?

x

(e i ω )

在离散的频点{ ω k = k 2 π

–––––

N } 0 ≤ k < N

上采样

?

x

[k ] = ?

x

(e i ω k ) = N - 1

Σ

n = 0 x[n ]e - i 2 π

– – – – –

N k n k = 0, …,N-1

即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。?

x

[k ]

实际上是这个周期序列的主值序列。

栅栏效应

N 点序列的DFT只能在有限的N个频点上观察频谱，这相当于从栅栏的缝隙中观察景色，对于了解信号在整个频域上的特性是不够的。为了观察到其他频率的信息，需要对原信号x[n]做一些处理，以便在不同的频点上采样。

将原来在DTFT频域上的采样点数增加到M 点，这样采样点位置变为{ ω ' k = e i k 2 π

– – – – –

M } 0 ≤ k < M

。则对应的DFT成为

?

x

'[k ] = ?

x

(e ik ω ' k ) = N - 1

Σ

n = 0 x[n ]e - i 2 π

– – – – –

M k n

若在序列x[n] 之后补上M-N个零，设为x'[n]，则上式变为

?

x

'[k ] = M - 1

Σ

n = 0 x '[n ]e - i 2 π

– – – – –

M k n = Fx '

因此将x[n]补零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他频率上的值，相当于移动了栅栏，因而能够从其他位置进行观察。

频谱分辨率

N 点DFT的频谱分辨率是2 π/N。一节指出可以通过补零观察到更多的频点，但是这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。这是因为x[n] 实际上是x(t) 采样的主值序列，而将x[n]补零得到的x'[n] 周期延拓之后与原来的序列并不相同，也不是x(t) 的采样。因此?

x

'

与?

x

是不同离散信号的频谱。对于补零至M点的x'的DFT，只能说它的分辨率2 π/M仅具有计算上的意义，?

x

'

并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能通过提高采样频率实现。

从空间的角度分析

周期为N的离散信号构成一个N 维欧氏空间C N 。在这一空间上两个信号x 和y 的内积定义为

〈 x,y 〉 = N - 1

Σ

n = 0 x[n ]y *[n ]

下面给出C N 上的一组正交基：

{ e k [n ] = e i 2 π

–––––

N kn } 0 ≤ k < N

将信号x 在这组正交基上分解，得

x = N - 1

Σ

k = 0 〈 x,e k 〉

–––––––––––

‖ e k ‖ 2 e k

令

?

x

[k ] = 〈 x, e k 〉 = N - 1

Σ

n = 0 x[n ] e - i 2 π

– – – – –

N k n

此即为离散傅里叶变换。又

| e k | 2 = N

则有

x[n ] = 1

––

N N - 1

Σ

k = 0 ?

x

[k ]e i 2 π

–––––

N kn

此即为离散傅里叶变换的逆变换。

由此可知，在正交分解的角度上说，离散周期信号x的离散傅里叶变换?

x

实质上是x在正交基 {e k } 上的分量。而从线性变换的角度上说， {e k } 是圆周卷积的特征向量，?

x

则是对应的特征值。

离散傅里叶变换的基本性质

1.线性性质

如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)

式中A,B为常数，取N=max【N1,N2]，则Y(N）地N点DFT为

Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;

2.循环移位特性

设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为

Y(N)=X((N+M))下标nR（N）

式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)