背景介绍

具体的定义

背景介绍

爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。 但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。

具体的定义

在微分流形以及黎曼几何学科中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的实微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定协变 二阶张量场， 亦即在每一点的切空间上配备一个2阶正定矩阵。给了度量以后， 我们就可以向数学分析里做的那样，在黎曼流形上建立起微积分的理论。

欧氏空间R^n中有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2。它的矩阵表示就是单位矩阵。

欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。 曲线和曲面的微分几何 里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。

黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。

有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。 在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。

黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。

大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。