| 词条 | 棱锥 |
| 释义 | 如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥。棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母，或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示。如棱锥S－ABCDE，或者棱锥S－AC。 棱锥的概念1．棱锥的概念 棱锥的底面: 棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。如下图中的面ABCD就是棱锥的底面。 棱锥的侧面: 棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面。如图中的面PAB、面PCD等都是棱锥的侧面。 棱锥的侧棱: 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。如图中PA、PB等都是棱锥的侧棱。 棱锥的顶点; 棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。如图中P是各个侧面的公共顶点，P是棱锥的顶点。 棱锥的高: 棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。如图中，若PO⊥底面ABCD，垂足是O，那么PO就是棱锥的高。 棱锥的对角面; 棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面。 2．棱锥的两个特征 棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形。但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥。 3．棱锥的分类 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 4．正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。如图，若棱锥P－AC的底面是正多边形，且PO底面AC，O为垂足，O是正多边形的中心，则棱锥P－AC是正棱锥。（如图） 正棱锥的斜高：正棱锥侧面等腰三角形底边上的高，叫做正棱锥的斜高。 棱锥的性质1．棱锥截面性质定理及推论 定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。 推论1：如果棱锥被平行与底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。 推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。 2．一些特殊棱锥的性质 侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心（外心），同时侧棱与底面所成的角都相等。 侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为α，则有S底＝S侧cosα。如图画出了射影是外心和内心的情况。 3．棱锥的侧面积及全面积、体积公式 棱锥的侧面积及全面积 棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则 S棱锥侧＝S1＋S2＋…＋Sn（其中Si，i＝1，2…n为第i个侧面的面积） S全＝S棱锥侧＋S底 棱锥的体积 棱锥和圆锥统称锥体，锥体的体积公式是： v=1/3sh（s为锥体的底面积，h为锥体的高）。 斜棱锥的侧面积=各侧的面积之和 正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=1/2chˊ（c为底面周长，hˊ为斜高）。 棱锥的中截面面积：S中截面=1/4S底面 4．正棱锥有下面一些性质 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）； 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 正棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c，斜高为h’，那么它的侧面积是 s=1/2ch 正棱锥的直观图画法正棱锥的直观图由底面和顶点所决定。正棱锥底面的画法与直棱柱底面的画法相同。顶点和底面中心的距离等于它的高。下面以正五棱锥为例，说明正棱锥的直观图的画法。 画一个底面边长为5 cm，高为11.5 cm的正五棱锥的直观图，比例尺是 。 画法： （1）画轴。画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O′，使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°。如图（１） （2）画底面。按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE，按比例尺取边长等于5÷5＝1（cm），并使正五边形的中心对应于点O′。 （3）画高线。在z′轴取O′S＝11.5÷5＝2.3（cm）。 （4）成图。连结SA、SB、SC、SD、SE，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到所画的正五棱锥的直观图。 棱台的定义棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台。由三棱锥，四棱锥，五棱锥，……截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…… 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。 棱台的性质正棱台的性质： （1）正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的斜高；（2）正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形； （3）正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。 棱台各部分名称两个平行的面分别叫做上底面和下底面，其余的面叫做侧面，侧面相交的线段叫做侧棱，3条侧棱相交的点叫做顶点。 正棱台各侧面的高叫做棱台的斜高。 棱台的体积公式棱台的体积公式:V=[S+S'+(SS')^(1/2)]h/3 |
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