| 词条 | 《高等数学自学及解题指导(第二版)》 |
| 释义 | 高等数学自学及解题指导(第二版) 内容简介 本书是为配合同济大学函 授数学教研室编写的《高等数 学》（第二版）教材而重新修改 的自学辅导书，书中对各章的 基本概念与定理作了总结，对 解题思路作了分析，并对不同 解题方法作了比较；书中列举 的例题丰富而又典型，各例题 除给出详解外，还尽量指出应 注意的解题关键步骤及易犯错 误，辅导读者加深理解所学的 课程，开拓思路，减少自学及 解题困难。 本书可作为工科各类成人 教育的辅导教材，也可作为工 科类大学生及工程技术人员自 学高等数学的参考资料。 片断： 确定函数的定义域，意味着在实数范围内找出使函数有意义 的自变量的取值范围.正确解题的关键在于： （1）搞清五类基本初等函数的定义域，例如偶次方根被开方 数应为非负数；对数函数的真数要大于零；反三角正弦、余弦的定 义域是区间［－1，1］等等； （2）明确分式函数的分母不能等于零； （3）熟练掌握解不等式（组）的方法（要认真复习中学阶段的 有关知识）； （4）对实际问题，应考虑到问题本身是否有意义. 二、反函数、复合函数、初等函数 反函数的定义设函数y＝f（x）的定义域是实数集D，值域 是实数集W.若对于任一y∈W，通过关系式y＝f（x），都有唯一 确定的x∈D与之对应，则称这样确定的函数x＝ψ（y）为函数 y＝f（x）的反函数原来的函数y＝f（x）称为直接函数. 对于反函数x＝ψ（y），习惯上仍写作y＝ψ（x）. 复合函数如果给定两个函数y＝f（u）和u＝ψ（x），且 u＝ψ（x）的值域全部或部分地包含在y＝f（u）的定义域内，那么 通过u的联系，y也是x的函数，这个函数就称作是由函数 y＝f（u）及u＝ψ（x）复合而成的复合函数，记作y＝f［ψ（x）］，其 中u称为中间变量. 高等数学自学及解题指导(第二版) 本书前言 前言 许多函授生及广大的自学者在自学《高等数学》的过程中，由 于缺乏老师的直接指导和较好的自学参考书，往往会遇到不少的 困难，如学了理论不会用于解题，或者发现解题有错误，但又不知 错误的原因何在，等等.为此，我们根据《高等工科院校成人教育， “高等数学”教学基本要求》的要求，在我校多年来积累的函授教学 辅导资料的基础上，经过提炼、加工和充实后而编成此书，奉献给 广大函授生及立志自学成才的自学者. 本书的核心是解题方法，侧重于帮助读者找到解题的钥匙. 为使本书成为广大自学者的良师益友，使读者掌握高等数学 中的基本内容、基本概念、基本解题技巧，我们在编写时，除了对各 章、节的重要内容作必要的总结归纳，对例题尽量作详细解答外， 还着重指出应该如何分析问题及解题中容易出现的错误.考虑到 不同层次的读者的需要，书中也适当地选入了一些较难的例题，介 绍了一些超出教学基本要求的内容和方法，这些都加上了“△”记 号. 本书分析说理比较透彻，解题思路比较广阔，例题类型比较齐 全，综合应用方面也有所兼顾，可作为使用我校出版的函授《高等 数学》教材的自学参考书，也可作为各类成人教育及全日制大学的 工科专业学生，或其他自学者，学习“高等数学”课程的参考书. 本书由我校函授数学教研室部分教师合作编写.其中第一、 二、三、卜章由郭景德执笔；第四、五、六章由徐�a青执笔；第七、八 章由刘浩荣执笔；第九章由周葆一执笔；第十一、十二章由周忆行 执笔. 谈祝多副教授详细审阅了本书的全稿，并提出了许多指导性 的意见.函授数学教研室的全体老师对本书的编写工作也都给以 热情的支持和帮助.我们在此一并表示衷心的感谢.由于我们的水 平所限，书中难免有许多不足或错误之处，恳请读者批评指正. 编者 1988年10月于同济 高等数学自学及解题指导(第二版) 本书目录 bsp;第二版前言 前言 第一章函数 1.1函数的概念 一、函数的定义二、反函数、复合函数、初等函数 1.2函数的几种特性 第二章极限与连续 2.1极限的概念 一、极限定义的使用二、有关极限的几个重要定理 2.2极限的计算 一、极限的运算法则二、两个重要极限三、无穷 小的性质四、两个极限存在的准则五、幂指函 数的极限六、已知极限值求极限中的某些常数 2.3连续 一、连续的定义和充要条件，间断点的分类二、闭区 间上连续函数的性质 2.4证题方法综述 第三章导数和微分 3.1导数的概念 一、利用导数的定义求极限二、利用定义和充要条 件研究函数的可导性三、综合举例 3.2求导方法 一、导数的四则运算二、复合函数的导数三、 高阶导数四、隐函数的导数五、由参数方程 所确定的函数的导数六、幂指函数的导数和对数求 导法七、导数的几何、物理意义及其应用 3.3微分 一、微分的定义和计算二、微分的应用 第四章中值定理与罗必塔法则 4.1罗尔、拉格朗日、柯西中值定理 一、定理条件的验证二、定理的基本应用三 综合举例 4.2罗必塔法则 一、罗必塔法则二、其他未定式 4.3泰勒公式 一、求函数的泰勒公式二、利用泰勒公式作近似计 算三、用泰勒公式证明不等式四、用泰勒 公式求极限 第五章导数的应用 5.1利用导数研究函数的性态 一、函数的单调性二、函数的极值与最值 三、函数的凹性和拐点四、函数图形的描绘 五、曲线的曲率 5.2综合例题 第六章不定积分 6.1最简单的不定积分 一、不定积分的概念和基本性质二、最简单的不定 积分的计算 6.2换元积分法和分部积分法 一、换元积分法二、分部积分法三、换元积 分法与分部积分法的综合应用 6.3有理函数的积分 6.4三角函数有理式的积分 6.5简单的无理函数的积分 6.6综合举例 第七章定积分 7.1定积分的概念和性质 一、定义和它的应用二、性质 7.2定积分的计算方法 一、基本计算方法二、分段函数的积分三 特殊类型的积分 7.3积分上限（下限）的函数及其导数 7.4广义积分 一、函数在无穷区间上的积分二、积分区间内或区 间端点被积函数有无穷间断点的积分三、积分区 间为无穷与积分区间上被积函数有无穷间断点的混合情 况 7.5综合举例 第八章定积分的应用 8.1元素法 8.2定积分在几何上的应用 一、求平面图形的面积二、体积三、平面曲 线的弧长 8.3定积分在物理、力学上的应用 一、变力沿直线所作的功二、水压力三、其 他应用四、平均值和均方根 第九章向量代数 9.1向量的概念及其几何运算 一、向量的概念二、向量的几何运算及其运算规 律 9.2向量的坐标表示式 一、向量的投影二、向量的坐标表示式三 向量的线性运算的坐标表示 9.3两向量的数量积与向量积 一、两向量的数量积二、两向量的向量积 三、两向量的夹角、垂直与平行条件 第十章空间解析几何 10.1空间平面及其方程 一、平面方程二、两平面之间的相互关系 三、点到平面的距离 10.2空间直线及其方程 一、空间的直线方程二、两直线间的关系 三、直线与平面的夹角 10.3空间的曲面与曲线 一、空间的曲面及其方程二、空间的曲线及其方程 三、空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程 第十一章多元函数微分法及其应用 11.1多元函数的基本概念 一、二元函数的定义二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性 11.2偏导数 一、偏导数的定义二、偏导数的求法三、偏 导数的几何意义四、偏导数存在与函数连续性的 关系五、方向导数与梯度六、高阶偏导数 11.3全微分及其应用 一、全微分二、全微分的应用 11.4多元复合函数的导数 一、多元复合函数的求导法则（链式法则）二、几种 推广的情形三、利用多元复合函数求导法则求高 阶偏导数 11.5隐函数求导法 11.6偏导数的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面二、空间曲面的切平 面与法线 11.7多元函数极值问题的解法 一、二元函数无条件极值的求法二、最大值与最小 值的求法三、二元函数条件极值的求法 第十二章重积分 12.1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念二、二重积分的性质 12.2利用直角坐标计算二重积分 12.3利用极坐标计算二重积分 12.4二重积分换元法 12.5三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法 一、三重积分的概念二、三重积分在直角坐标系中 的计算方法 12.6利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标 计算三重积分 12.7重积分的应用 一、曲面的面积二、质量三、静力矩和重心 四、转动惯量 12.8含参变量的积分 第十三章曲线积分与曲面积分 13.1对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的定义和性质二、对弧长的 曲线积分的计算方法 13.2对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的定义和性质二、对坐标的 曲线积分的计算方法三、两类曲线积分之间的联 系 13.3格林公式及其应用 一、格林公式二、与路径无关的曲线积分 13.4对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的定义和性质二、对面积的 曲面积分的计算方法 13.5对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的定义和性质二、对坐标的 曲面积分的计算方法三、两类曲面积分之间的联 系 13.6高斯公式和斯托克斯公式 一、高斯公式和斯托克斯公式二、与曲面无关 的曲面积分和与曲线无关的曲线积分三、场论 初步 13.7曲线积分和曲面积分的应用 一、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的应用 二、对坐标的曲线和曲面积分的应用 第十四章常数项级数与幂级数 14.1常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念二、级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 14.2正项级数的审敛法 一、比较审敛法二、比值审敛法［达朗贝尔 （D′Alembert）判别法］三、根值审敛法［柯西 （Cauchy）判别法］ 14.3任意项级数的审敛法 一、交错级数审敛法［莱布尼茨（Leibniz）准则］二 任意项级数的收敛性――绝对收敛与条件收敛 14.4函数项级数的概念与幂级数 一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 14.5把函数展开成幂级数 一、泰勒级数二、把函数展开成幂级数 14.6函数的幂级数展开式的应用 第十五章傅立叶级数 15.1周期为2π的函数的傅立叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性二、周期为 2π的函数的傅立叶级数及其收敛性三、周期为2π 的函数展开为傅立叶级数四、定义在［－π，π］上的 函数展开为傅立叶级数 15.2正弦级数和余弦级数 一、正弦级数和余弦级数二、定义在［0，π］上的函 数展开为正弦（余弦）级数 15.3周期为2l的周期函数的傅立叶级数 第十六章微分方程 16.1微分方程的基本概念 16.2一阶微分方程 一、可分离变量方程和齐次方程二、线性微分方程 与贝努里方程三、全微分方程 16.3可降价的高阶微分方程 16.4二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程及其解的结构二、二阶常系 数线性微分方程三、可化为常系数线性方程的方 程――欧拉方程四、幂级数解法与常数变易法 16.5微分方程应用举例 一、物理问题应用二、几何问题应用三、微 小量分析法应用 |
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