| 词条 | 高斯的黄金定理 |
| 释义 | § 概述 18世纪末，高斯完成了他的传世之作《算术研究》，1801年正式出版。这部著作给数论的研究揭开了一个新纪元，是现代数论的基石，是高斯的巨著。 其中第四部分：二次同余式中，高斯第一次给出了二次互反律定理的证明。这个定理，高斯给出了热情洋溢的颂辞，称为“黄金定理”、“高等算术的明珠”。 二次互反律，又称平方互反律，也叫做“勒让德二次互反律”。 应当讲，这个定理首先由勒让德明确宣布，又尽管著名的欧拉在多年前已对这种素数所具有的性质也作过介绍，但是勒让德本人则无力对此提供一个无瑕可击的证明，很自然，定律的证明只好留给伟大的高斯去做了。 高斯确实是名不虚传，他成功地获得了该定律的七个不同的证明，而其中的第一个证法是他年仅19岁时取得的。 高斯的成就又大大地激励了后人，许多数学家又不断发现新证法，以至目前就有不少于50个的二次互反律的证法。 事实上，高斯是独立地通过观察而发现了这一定律的(根本不了解勒让德与欧拉曾作过研究)。他用了整整一年时间来证明它。 § 相关介绍 在《算术研究》出版后，他说：“它全年都在折磨着我，尽管我竭尽全力，它总是巧妙地躲过追捕。可是，最后我还是得到了它的证明，这已写在《算术研究》的第四部分中。”该定理表述如下： 二次互反性定理：设p和q为奇素数，若p≡q≡3(mod4)，则p/q=-q/p,否则p/q=q/p。 二次互反律的证明对我们来说是太深奥了一点，但它实在是巧妙透顶，值得数学爱好者去学习、理解，并汲取其解题技巧与思维特征。 |
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