| 词条 | 《几何原本》 |
| 释义 | 欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。 《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。 《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。） 这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。 欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 《几何原本》 《几何原本》 § 本书简介 本书是古代西方第一部完整的数学专著，使用了2000多年、最成功的数学教科书，使几何成为独立、演绎的学科。 名书简介作者：（古希腊） 欧几里得（生卒年不详） 类型： 数学著作 成书时间： 公元前4世纪 § 背景搜索 欧几里得欧几里得，是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世。早年大概就学于雅典，非常熟悉柏拉图的学说。虽然欧几里得大名鼎鼎，但是有关他生活的详细情况我们都几乎一无所知。我们只知道他在公元前300年左右，在托勒密王（公元前364前283年）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作，是积极活跃在埃及亚历山大省的一位教师。 作为一个教育家，他秉承了这个职业所特有的温良敦厚的品行，对好学之士，总是循循善诱。他反对不刻苦钻研、投机取巧的作风。据普罗克洛斯（约410-485年）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。还有另一则故事说，一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。 推荐阅读版本：兰纪正、朱恩宽译，陕西科学技术出版社出版。 § 内容精要 古希腊的建筑之美全书共13卷。欧几里得创造了一种巧妙的陈述方式。一开头，他介绍了所有的定义，让大家一翻开书，就知道书中的每个概念是什么意思。例如，什么叫作点？书中说：“点是没有部分的。”什么叫作线？书中说：“线有长度但没有宽度。”这样一来，大家就不会对书中的概述产生歧义了。 接下来，欧几里得提出了5个公理和5个公设： 公理1 与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。 公理2 等量加等量，总量仍相等。 公理3 等量减等量，总量仍相等。 公理4 彼此重合的东西彼此是相等的。 古希腊雕塑·醉婆公理5 整体大于部分。 公设1 从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。 公设2 把有限的直线不断循直线延长是可能的。 公设3 以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。 公设4 所有的直角都相等。 公设5 如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。 他以此为基础，证明了467个数学定理。 § 专家点评 古希腊雕塑·掷铁饼者公元前3世纪时，最著名的数学中心是亚历山大城；在亚历山大城，最著名的数学家是欧几里得。像伟大的希腊几何学家欧几里得这样千古流传的人物在历史中寥寥无几，虽然他没有像恺撒那样建功立业、没有像柏拉图那样创立自己的学说，但他凭借一本教科书名声显赫。而在人类众多的书籍中，像《几何原本》这样影响巨大的教科书也是少见的。 欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。《几何原本》的重要性并不在于它所论证的哪条具体定理，书中几乎所有的定理和证法在欧几里得以前就为人所知晓。欧几里得的伟大贡献在于他对教材的编排和大纲的制订。他首先挑选出了经过长期实践的反复检验、证明其正确性的5条公理和定理作为基础，接着认真地编排这些定理和公理，一个定理被证明以后，又可以用它作为理论依据，去推导出新的数学定理来。这样，就可以用一根逻辑的链条，把所有的定理都串联起来，让每一个环节都衔接得丝丝入扣，循序渐进，无懈可击。他在必要的地方补充了缺少的步骤，提出了缺少的证据。从此，古希腊丰富的几何学知识，形成了一个逻辑严谨的科学体系。由区区5个公理5个公设，竟能推导出那么多的数学定理来，这是一个奇迹！2000多年后，大科学家爱因斯坦仍然怀着深深的敬意称赞道：这是“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹”。而且，这些公理公设，多一个显得累赘，少一个则基础不巩固，其中自有很深的奥秘。后来，欧几里得独创的陈述方式，也就一直为历代数学家所沿用。 《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理方法建立起演绎的数学体系的最早典范。这部著作给后人以极大的启发，不仅由此引出了公理化演绎的结构方法，给数学以及其他自然科学以典范的作用，而且由于其中第五公设的不可证明性质，引发了非欧几何的出现。值得注意的是，《几何原本》虽然主要是对平面几何和立体几何的发展，但是也包含着大量的代数和数论内容。 亚历山大城的地形图《几何原本》作为使用了2000多年的教科书，不容置疑是曾经出现过的最成功的教科书。从来没有一本教科书，像《几何原本》这样长期占据着几何学教科书的头把交椅。他编写的这部著作臻于完美，刚一问世就取代了所有先前的教科书，使它们很快就被人遗忘了。《几何原本》最初用希腊文写成，后来被译成许多种其他文字。该书的首次印刷版出现在1482年，仅在古腾堡发明印刷术约30年之后。从那时起已经出版了1000多种不同的版本。而在此之前，它的手抄本统御几何学达1800年之久。欧几里得的影响是如此深远，以至于欧几里得和几何学变成了同义语。 《几何原本》起到了锻炼人们逻辑思维的作用，其影响远远超过了亚里士多德的任何一篇逻辑论文。它是严谨的逻辑推理体系的杰作，因此自从问世以来对任何伟大的思想家都具有巨大的魔力。 欧几里得这部巨著是现代科学崛起的一个重要因素，这种说法不无道理。科学不只是准确的观察和精辟概括的集合。现代科学的伟大成就一部分是经验论和实验法相结合的产物，另一部分是认真分析和逻辑演绎相结合的产物。在欧洲，欧几里得就是一个数学的权威，一般说来欧洲人并未把欧几里得几何仅仅看作是一个抽象的体系，而是认为欧几里得公理和定律真实地反映了客观世界。欧几里得对艾萨克·牛顿的影响尤为突出，因为牛顿的伟大著作《原理》是用“几何”形式，即用《几何原本》相类似的形式写成的。许多不同的科学家都竭力效仿欧几里得，他们试图把自己所有的结论都合乎逻辑地从少数几个原始前提下推导出来。像罗素和怀特默德这样著名的数学家和斯宾诺莎这样的哲学家都做过这种尝试。今天的数学家终于明白了欧几里得几何并不是可以设计出来的惟一统一的几何学体系。 在过去的150年中，建立了许多门非欧几里得几何学。实际上自从爱因斯坦广义相对论被公认以来，科学家就认识到在客观的宇宙中欧几里得几何并不总是成立的。例如在黑洞和中子星相邻的区域内，重力场非常强，欧几里得几何学不能准确地描述出那个世界的模样，如此看来它也不能把宇宙作为整体来加以正确的描述。但是这些例子很特殊，欧几里得几何学在大多数情况下都能非常逼真地反映客观现实。人类知识的这些新的进展无论如何不能减少凝聚着欧几里得智慧的成就，也不能削弱他的历史意义。 几千年来，《几何原本》引导一代又一代的求知者跨入辉煌的数学殿堂，极其深刻地影响了世界数学的发展。哥白尼、 《几何原本》伽利略、牛顿以及许许多多的大科学家，年轻时都曾认真学习过这本书。欧几里得是希腊几何的集大成者，在整个数学史上树立了丰碑。 《几何原本》的意义和影响 在几何学上的影响和意义 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 数论方面的影响 此外，《几何原本》还对完全数做了探究，欧几里得通过 2^(n− 1)·(2^n − 1) 的表达式发现头四个完全数的。 当 n= 2: 2^1(2^2 − 1) = 6， 当 n= 3: 2^2(2^3 − 1) = 28 ，当 n= 5: 2^4(2^5 − 1) = 496， 当 n= 7: 2^6(2^7 − 1) = 8128 一个偶数是完全数，当且仅当它具有如下形式：2^(n − 1).(2^n − 1)，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。 其中2^n− 1是素数，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2^n− 1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完全数。 尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式，其中p是素数。在10^18以下的自然数中奇完全数是不存在的。 首五个完全数是：6 ，28 ，496 ，8128，33550336(8位) 论证方法上的影响 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。 作为教材的影响 从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。（牛顿的例子） 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，《几何原本》牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。 § 《原本》的缺憾 但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念. § 《几何原本》的传播 《几何原本》最初是手抄本，以后译成了世界各种文字，它的发行量仅次于《几何原本》《圣经》而位居第二。19世纪初，法国数学家勒让德，把欧几里德的原作，用现代语言写成了几何课本，成为现今通用的几何学教本。 中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（MatteoRicci，1552－1610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国，同时确定了许多我们现在耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外似等。他们只翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。 § 《几何原本》在中国 前六卷的翻译工作 《几何原本》传人中国，首先应归功于明末科学家徐光启。 《几何原本》徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人。他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。 对徐光启而言，《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。这种区别于中国传统数学的特点，徐光启有着比较清楚的认识。他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。 他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。 徐光启翻译中的重要贡献 徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。 后9卷的翻译工作 就在他们想继续把《几何原本》的后9卷翻译完的时候，发生了一件意想不到的事情，就是徐光启的父亲不幸去世了。徐父去世的准确日子是5月23日。当时徐光启尽管已经入教，但作为一名一直在传统文化熏陶下成长起来的封建时代的知识分子，他还做不到那么超脱，所以，他不得不开始忙于一系列繁杂的丧事。丧事差不多了，到了8月初，徐光启请了假，便扶柩回了上海。这一去就是三年。 此时利玛窦一直在北京，中间的确为《几何原本》的事情他们曾经联系过一次，但那次主要是让徐光启想办法在南方刊印。此后，他们再没联系。三年后，即1610年5月11日，利玛窦去世了。而徐光启到了12月15日才回到北京。此时利玛窦已于11月1日下葬。所以他们从1607年8月之后，再也未曾谋过面。 就因为这个意外，使《几何原本》的后9卷的翻译推迟了200多年，才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。 《几何原本》李善兰(1811～1882)，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，自幼喜欢数学。 1852年到上海后，李善兰与伟烈亚力相约，继续完成徐光启、利玛窦未完成的事业，合作翻译《几何原本》后9卷，并与1856年完成此项工作。 至此，欧几里得的这一伟大著作第一次完整地引入中国，对中国近代数学的发展起到了重要的作用。 清康熙帝时，编辑数学百科全书《数理精蕴》（公元1723年），其中收有《几何原本》一书，但这是根据公元十八世纪法国几何学教科书翻译的，和欧几里得的《几何原本》差别很大。 § 对《几何原本》的评价 徐光启在评论《几何原本》时说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”其大意是：读《几何原本》的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人人都要学习几何。 徐光启同时也说过：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。” 爱因斯坦《几何原本》更是认为：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。” 由此可见《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。 |
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