| 词条 | 费马数 |
| 释义 | § 费马数 费马 费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。 若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。 § 正文 形如的数，n≥0。前五个费马数是F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,均为素数。据此,1640年，法国数学家P.de费马猜想Fn均为素数，1732年，L.欧拉发现 F5=641×6700417，故费马猜想不真。到目前为止，只知道以上五个费马数是素数。此外，还证明了48个费马数是复合数。这些复合数可以分成三类：①当n=5,6,7时，得到了Fn的标准分解式；②当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55，58，63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945时，只知道Fn的部分素因数；③当n=14时，只知道F14是复合数，但是它们的任何真因数都不知道。因此，在费马数列中是否有无穷多个素数，或者是否有无穷多个复合数，都是未解决的问题。自从费马猜想被否定后，有人猜想费马数列中只有有限个素数，这一猜想也未解决。还有一个未能证明的猜想：费马数无平方因子。L.J.沃伦于1967年证明了：如果素数q满足q2｜Fn，则 费马数有一些简单的性质：如①当整数 k>0时，有；②设 n>0，Fn 是素数的充分必要条件是；③设 n>1，Fn的每一个素因数形如。 1801年,C.F.高斯证明了,当h＝(0≤n1<n2<…<ns,s≥1),Fnt(t=1,2,…,s)都是素数时,正h边形可用圆规和直尺来作图，可见费马数与平面几何的一些问题有联系。近年来，费马数在数字信号处理中得到应用。例如，费马数变换(FNT),即以费马数给出的数论变换,在数论变换中最为有用。 § 配图 § 相关连接 高斯 |
| 随便看 |
百科全书收录594082条中文百科知识，基本涵盖了大多数领域的百科知识，是一部内容开放、自由的电子版百科全书。