| 词条 | 范数 |
| 释义 | § 向量范数定义 1. 设 ,满足 1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0 2. 齐次性:║cx║=│c│║x║, 3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║ 则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数. 可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数. § 常用向量范数有 ,令x=( x1,x2,…,xn)T 1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2 ∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞ 定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使 m║x║α≤║x║β≤M║x║ 可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得 定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则 ║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→ ∞) 其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k) →x(k→∞),或 . § 矩阵范数 定义2. 设 ,满足 1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0 2. 齐次性:║cX║=│c│║X║, 3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║ 4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║ 则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数. 注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量 序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩 阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性: ║Ax║≤║A║║x║ 所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的. 定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则 ║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} 是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性 或者说是相容的. 单位矩阵的算子范数为1 可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义: ║x║=║X║,X=(xx…x) 常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是 1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}= 2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的 最大特征值. ∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}= 此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数. § 矩阵谱半径 定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称 为A的谱半径. 谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系: ρ(A)≤║A║ 因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的 相容性和齐次性就导出结果. 定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A) |
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