| 词条 | 积分不等式 |
| 释义 | § 积分不等式 § 正文 分析数学中常用到下列积分不等式。 杨不等式 设ƒ(x)是定义在【0, A】上满足ƒ(0)=0的严格单调增加的连续函数,ƒ-1(y)是ƒ(x)的反函数,则对任何 α∈【0,A】，b∈【0,ƒ(A)】，有 当且仅当ƒ(α)=b时，上式中等号成立(见图)。 特别，当ƒ(x)=xα(α>0)时，令 由杨不等式得到 当且仅当b=αp-1时，上式中等号成立。 赫尔德不等式 设(X,φ,μ)是测度空间(见测度论)，E ∈φ，ƒ(x)、g(x)分别在 E上p 次、q次可积，则 ƒ(x)g(x)在E上可积,并且 上式中等号成立当且仅当存在实数θ以及不全为零的实数с1和с2，使得等式 argƒ(x)g(x)=θ , с1|ƒ(x)|p=с2|g(x)|q在E上几乎处处成立。 由积分的赫尔德不等式立即可得级数的赫尔德不等式：设 式中p>1，q>1 ，则绝对收敛，并且 。上式中等号成立当且仅当存在实数θ 以及不全为零的非负实数 с1 和 с2，使对一切自然数 n，argαnbn=θ，且 施瓦兹不等式 赫尔德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情况，此时的赫尔德不等式称为施瓦兹不等式,有时也称为柯西不等式或布尼亚科夫斯基不等式。它的积分形式、级数形式分别为 上面两式中等号成立的充要条件分别是存在两个不全为零的常数с1和с2，使得 с1ƒ(x)=с2g(x)在E上几乎处处成立和对一切自然数n，с1αn=с2bn。 闵科夫斯基不等式 设(X,φ,μ是测度空间，E∈φ，ƒ(x)，g(x)都是E上p次(p≥1)可积函数，则ƒ(x)+g(x)在E上p次可积，并且 。当p>1时,上式中等号成立的充要条件是存在不全为零的非负实数с1和с2，使得 с1ƒ(x)=с2g(x)在E上几乎处处成立；当p=1时，上式中等号成立的充要条件是，argƒ(x)=argg(x)在E上几乎处处成立。 由积分的闵科夫斯基不等式，可得级数的闵科夫斯基不等式：如果，p≥1，则 当p>1时,上式中等号成立当且仅当存在不全为零的非负实数с1和с2,使对一切自然数n,с1αn=с2bn；当p=1时,上式中等号成立当且仅当对一切自然数n，argαn=argbn。 延森不等式 设φ(x)是【α,b】上有限实函数,如果对任何x1,x2∈【α,b】以及任何正数p1、p2，都有 则称φ为【α,b】上的下凸函数。如果φ(x)是【α,b】上的下凸函数，则对任何x1,x2,…,xn∈【α,b】以及任何正数p1,p2,…,pn，有延森不等式： 积分形式的延森不等式:设φ(x)是【α,b】上的下凸函数，又设(X,φ,μ)是测度空间，E∈φ,p(x)是E上非负可积函数，并且,而ƒ(x)是E上可测函数，并且α≤ƒ(x)≤b，则 。 § 配图 § 相关连接 |
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