| 词条 | 病态矩阵 |
| 释义 | § 病态矩阵 在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题，而且病态矩阵问题还未有很好的解决方法，尤其是长方形、大型矩阵。目前主要有Tikhonov、奇异值截断、奇异值修正等方法。 求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA)塣=b+δb的解塣与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解塣一般都不可能恰好使剩余r=b-A塣为零，这时塣亦可看作小扰动问题A塣=b-r(即δA=0，δb=-r)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。例如，取 当以 作为近似解时，剩余 r ＝已很小,但塣与真解仍相差很远。 判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看数值K(A)＝‖A-1‖‖A‖的大小,其中A-1为矩阵A的逆，‖‖表示对矩阵取某一种范数。K(A)称为A的条件数,它很大时，称A为病态，否则称良态；K(A)愈大，A的病态程度就愈严重。 对小扰动问题 (A+δA)塣=b+δb与原问题Ax=b的解有估计式 对矩阵求逆亦有估计式 从上估计式可以看出条件数对解方程组及矩阵求逆的影响。 希尔伯特矩阵是一类著名的病态矩阵，其定义为 式中 由于Hn对称正定,当取‖Hn‖为欧氏范数时,K(Hn)即为Hn的最大与最小特征值之比。对n=7,8,9,10有 K(H7)=4.75×108 K(H8)=1.53×1010 K(H9)=4.93×1011 K(H10)=1.60×1013 当n较大时,有近似表达式K(Hn)～e3.5n。在一台相当于10位十进制字长的计算机上对希尔伯特矩阵求逆或解方程组时,如n≥8，则所得解答连一位准确数字都没有。 |
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