| 词条 | 模型论 |
| 释义 | § 定义 结构被形式的定义于某个语言L 的上下文中，它由常量符号的集合，关系符号的集合，和函数符号的集合组成。在语言L上的结构，或L-结构，由如下东西组成: 一个全集或底层集合A，它包含所有感兴趣的对象("论域")， 给 L 的每个常量符号一个在 A 中元素， 给 L 的每个 n 价函数符号一个从 An 到 A 的函数，和 给 L 的每个 n 价关系符号一个在 A 上的 n-元关系(换句话说，An的一个子集)。 函数或关系的价有时也叫做元数(术语"一元"、"二元" 和"n-元"中的那个元)。 在语言L中的理论，或L-理论，被定义为L中的句子的集合。如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下，则被称为闭合理论。例如，在某个特定L-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合L-理论。 L-理论T的模型由在其中T的所有句子都为真的一个L-结构组出，它通常用T-模式的方式定义。 理论被称为可满足的，如果它有模型。 例如，偏序的语言有一个二元关系 ≥。因而偏序的语言的结构就是带有 ≥ 所指示的二元关系的一个集合，它是偏序的理论的模型，如果此外它还满足偏序的公理。 § 定理 哥德尔完全性定理表明理论有一个模型当且仅当它是协调的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。 紧致性定理说一组语句S是可满足的（即有一个模型）当且仅当S的每一个有限子集可满足。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。目前已知的有两个证明方法，一个是库尔特·哥德尔提出的（通过证明论），另一个是阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫提出的（这个更直接，并允许我们限制最后模型的基数）。 模型论一般与一阶逻辑有关。许多模型论的重要结果(例如哥德尔完全性定理和紧致性定理)在二阶逻辑或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个可数的语言，任何理论都有可数的模型。这在勒文海姆-斯科伦定理中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。 莫雷(Morley)证明了著名的范畴定理.即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来的所谓稳定性理论(stable theory). 近来模型论更加着重于对于其它数学分支，尤其是代数和代数几何，的应用。[1] 数理逻辑的一个分支。它是研究形式语言及其解释（模型）之间关系的理论。早在20世纪20年代，T.司寇伦（1887～1963）等人在数理逻辑研究中就已经得到有关模型论性质的重要结果。但作为系统的理论，模型论的奠基人应推A.塔尔斯基。后来，A.鲁宾逊也对模型论作过较多的贡献。在这方面有贡献的学者还有R.L.沃特、Ａ .И.马尔切夫、张辰中、H.J.凯斯勒、M.D.莫尔利和S.什拉赫等人。 模型论按其所涉及的逻辑系统划分,大致可分为:一阶模型论、高阶模型论、无穷长语言模型论、模态模型论、具有广义量词逻辑的模型论以及多值模型论等。由于在数理逻辑中以一阶逻辑（见一阶理论及其元逻辑）发展最为成熟，所以，模型论中一阶模型论的内容最丰富，而且应用最多。 与相邻学科或理论的关系 模型论与数理逻辑的其他分支有着密切的联系。首先，各种逻辑演算是模型论的基础。此外,例如在证明论中,有关判定问题的研究广泛使用着模型论性质的方法；公理集合论（见集合论）和递归论也都与模型论相互渗透及应用。 模型论中的概念与方法，除了主要来源于数理逻辑之外，也有不少来源于代数学，它与抽象代数的关系很密切。另外,由鲁宾逊创始的非标准分析,则是模型论与分析数学相结合的产物。模型论还与其他数学学科，如数论、拓扑学、概率论等也有联系，在不少场合，模型论的成果不但作为数学性的结论起作用，并且作为逻辑性的结论而起着推理工具的作用。 一阶语言 一阶模型论的语言是一阶语言。所谓一阶语言，就是用狭义谓词演算范围内的逻辑概念所表达的语言,具体地说,就是用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号或称谓词符号（一般包括等号在内），以及与、或、非、蕴涵等命题连接词，还有"存在一个体"和 "对一切个体" 两种量词所表达的语言。其特点是，量词"存在"、"对一切"只允许对个体使用，不允许对集合或谓词等使用。它不包括"存在（个体集合的）一个子集"这样的量词。在一个一阶语言中，由任一组命题所成的集合 T称为一个形式理论。如果有一个数学结构M，当用其中的概念解释T的命题中诸符号后，能使T的每一命题都在M中成立，则称M是T的一个模型。 定理 一阶模型论的一个基础性的定理称为紧致性定理，它的内容是说：如果一阶语言中一个命题集即形式理论T的任何有限子集都有模型，则T自身有模型。该定理是建立在关于一阶逻辑即狭义谓词演算的完全性定理之上的。这两个定理首先由K.哥德尔证明，又经马尔切夫推广并由L.汉金等人给出新证法。紧致性定理是关于模型存在性的一个基本定理，应用很广，模型论中很多结果是建立在它的基础上的。 模型论中一个发现较早的重要定理是勒文海姆－司寇伦定理（见司寇伦定理）。它的内容曾被塔尔斯基加以发展，其含意为：设一阶语言 L中所能表达的命题个数为λ（是一个超限数），如果L中的一个形式理论 T有无限模型，则 T有基数为任何 α≥λ 的模型。该定理使得在讨论问题时可以改变模型的基数而不影响所关心的理论 T。 完备理论 在模型论中,对于完备理论的研究,是一个比较系统而带有典型性的部分。一个形式理论 T，如果它的任何两个模型都具有完全相同的一阶性质，则称T为完备的。完备理论的不同模型间,其一阶性质可以互相转移，这一点对于某些数字定理的证明有时能起到独特的推理工具作用。例如，特征数为零的代数闭域理论T0 是完备的，而复数域 K是T0的模型，人们往往能借助于 K的某些非一阶性质(如拓扑性质、函数论性质等)证明某个一阶命题 ψ对于 K成立，这时，便立刻可以断定，ψ对于任何特征数为零的代数闭域F（如代数数域）也是成立的，虽然F不一定具有K的那些非一阶性质。 构造模型的方法 在对于模型的构造及一阶性质的研究中，塔尔斯基等人提出的初等子模型及初等链是很基本的概念及方法，与此有关的还有鲁宾逊提出的模型完全性等概念，后者由于涉及到代数而导致了一些特殊的研究。 超积是模型论中的一个常用的由一类已知模型构作新模型的方法。关于超积,J.洛斯有一个基本定理,其大意是说：超积具有它的在一定意义下的"几乎一切"因子所共有的那些一阶性质。这个定理在模型论中常常起着与紧致性定理类似的作用。在数学应用方面，它的能使一阶命题"转移"的特点，也常常能起到独特的推理工具作用。此外，超积及其特例超幂，在集合论问题的研究中也是常用的工具。在模型论中常用的概念及方法还有司寇伦函数、不可辨元、以及饱和模型等。 |
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