| 词条 | 正交多项式 |
| 释义 | § 正交多项式 正交多项式最简单的例子是勒让德多项式,此外还有雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等，它们在微分方程、函数逼近等研究中都是极有用的工具。 设ω(x)是定义在区间【α,b】上的非负可积函数，如果它满足条件，则称 ω(x)为一个权函数。如果定义在［α，b］上的函数 ƒ（x）与g(x)满足等式 ,则称它们在【α,b】上关于权ω(x)是正交的,并称【α,b】为它们的正交区间。对于给定的区间 【α,b】及其上的权函数ω(x)，从幂函数序列出发，可以构造一列多项式： (1)使得pn(x)的次数是n，而且其中任意两个多项式在［α,b］上都关于ω(x)正交,这时称 (1)为在［α,b］上关于权ω(x)的正交多项式系，并称(1)中每一个多项式为正交多项式。如果正交多项式系(1)还满足条件·,则称(1)为在 【α,b】上关于权ω(x)的规范正交多项式系。 为了构造(1)，先计算积分,然后记Δ -1=1 以及 则就是在［α，b］上关于权ω(x)的一个正交多项式系。常记 则n(x)的首项系数为1，n(x)的首项系数是正的，而且{n(x)}是在【α，b】上关于权ω(x)的规范正交多项式系。对于同一权函数的正交多项式系虽然很多，但是首项系数为 1的正交多项式系或首项系数为正的规范正交多项式系却是由权ω(x)所惟一确定的。任一n次多项式都可表示为p0(x),p1(x),…,pn(x)的线性组合。pn(x)的零点全部位于(α，b)中,而且pn+1(x)的相邻两个零点间都有pn(x)的一个零点。此外,对于n=0，1,…都有如下的递推公式： (2)式中 假设函数ƒ(x)在［α,b］上关于ω(x)平方可积, 即，则称为ƒ关于的傅里叶系数,为ƒ的傅里叶级数。若记这个级数前n+1项之和为Sn(ƒ,x),则对任何次数小于n的多项式q(x)有而且当n→∞时,这个不等式左边所表示的偏差收敛于零。对于任何正交多项式系，都有连续函数使其傅里叶级数不一致收敛。为了研究傅里叶级数的收敛性，常记 称为核。显然。关于核Kn(x,t)有如下的克里斯托费尔-达布公式 由此易证:若在点x处有界，而且函数关于权ω（t）平方可积，则Sn(ƒ,x)收敛于ƒ(x)。 常用的正交多项式是关于正交的雅可比多项式 式中α>-1，β>-1，是给定的实数，对于，有 可以算出，此时递推公式(2)中的 α＝β的情况比较简单，称作超球多项式。当α＝β=0,也即关于权时，相应的正交多项式称作勒让德多项式，它还可表成 当,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式，它有表达式 当，也即关于权，相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式，它有表达式 这些正交多项式的正交区间都是［-1,1］。它们不仅本身有广泛的应用，而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。 如果讨论的是无限区间【0,+∞),则常考虑以或为权的正交多项式系与，它们依次称作拉盖尔多项式与埃尔米特多项式，其表达式是 递推公式是 Ln(x)与Hn(x)还依次满足微分方程 上述理论完全可能推广为如下形式：设ψ(x)是区间【α,b】上的非减函数,。如果定义在【α,b】上的函数ƒ(x)与g(x)满足等式,则称他们在［α,b］上关于权 ψ(x)正交。这里的积分是勒贝格-斯蒂尔杰斯意义下的积分。为区别上述情况,人们称这时的权函数 ψ(x)为积分权，而将前面的权函数ω(x)称作微分权。由积分权出发建立的正交多项式理论自然要广泛一些。此外，还可建立多元的正交多项式理论。 § 配图 § 相关连接 |
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