| 词条 | 柯西不等式 |
| 释义 | § 概述 柯西不等式的证明及应用 http://www.hzjys.net/xkweb/shuxue/Article/UploadFiles/200473224829353.doc 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。 关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178 Identification and application of Cauchy inequality Chen Bo （department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000） Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples. Keyword：inequation prove application 柯西（Cauchy）不等式 等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 = 恒成立 即 当且仅当 即 时等号成立 证明（2）数学归纳法 （1）当 时 左式= 右式= 显然 左式=右式 当 时， 右式 右式 仅当即 即 时等号成立 故 时 不等式成立 （2）假设 时，不等式成立 即 当 ，k为常数， 或 时等号成立 设 则 当 ，k为常数， 或 时等号成立 即 时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题 例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 。 已知点 及直线 设点p是直线 上的任意一点， 则 （1） （2） 点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得： 即 （3） 当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式 即 2） 证明不等式 例2 已知正数 满足 证明 证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上 得： 故 3） 解三角形的相关问题 例3 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半径，证明 证明：由柯西不等式得， 记 为 的面积，则 故不等式成立。 4） 求最值 例4 已知实数 满足 ， 试求 的最值 解：由柯西不等式得，有 即 由条件可得， 解得， 当且仅当 时等号成立， 代入 时， 时 5）利用柯西不等式解方程 例5．在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得 ① 又 即不等式①中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与 联立，可得 6）用柯西不等式解释样本线性相关系数 在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数 ，并指出 且 越接近于1，相关程度越大， 越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记 ， ，则， ，由柯西不等式有， 当 时， 此时， ， 为常数。点 均在直线 上， 当 时， 即 而 为常数。 此时，此时， ， 为常数 点 均在直线 附近，所以 越接近于1，相关程度越大 当 时， 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 ，使得点 都在直线 附近。所以， 越接近于0，则相关程度越小。 致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。 参考文献： 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期 柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社 普通高中解析几何 高等教育出版社 1990-年全国统一考试 数学试卷 李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社 盛聚，谢式千，潘承毅 概率与数理统计 高等教育出版 用用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004年第七期 2004年6月 几个重要不等式(二)柯西不等式 ，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号 柯西不等式的几种变形形式 1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号 2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号 例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证： 证明：左边= 例2.对实数a1,a2,…,an,求证： 证明：左边= 例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证： 证明：左边³ 例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证： 证明：左边= ³ = = 例5.若n是不小于2的正整数，试证： 证明： 所以求证式等价于 由柯西不等式有 于是： 又由柯西不等式有 < 例6.设x1,x2,…,xn都是正数(n³2)且，求证： 证明：不等式左端即 (1) ∵，取，则 (2) 由柯西不等式有 (3) 及 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得： 三、排序不等式 设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有： a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn 反序和£乱序和£同序和 例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小 解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a 例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有 证明：取两组数a1,a2,…,an； 其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有 例3.已知a,b,cÎR+求证： 证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0 则 例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证： 证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1； c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1 则且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n 利用排序不等式有： 例5.设a,b,cÎR+,求证： 证明：不妨设a³b³c,则，a2³b2³c2>0 由排序不等式有： 两式相加得 又因为：a3³b3³c3>0, 故 两式相加得 例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则 a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则 证明：由排序不等式有： a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1 a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2 ………………………………………… a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1 将以上式子相加得： n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn) ∴ § 相关条目 数学 |
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