| 词条 | 斐波拉契数列 |
| 释义 | 斐波拉契数列 - 【斐波拉契数列简介】 斐波拉契数列■斐波拉契数列的简介 斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。 ■斐波拉契数列的出现 13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目： “如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？” 斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8…… 这串数里隐含著一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。 于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。 ■斐波拉契数列的来源及关系 斐波拉契（Fibonacci）数列来源于兔子问题，它有一个递推关系， f(0)=1 f(1)=1 f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2 {f(n)}即为斐波拉契数列。 ■斐波拉契数列的公式 它的通项公式为:{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5 （注：√5表示根号5） ■斐波拉契数列的某些性质 ■1)，f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n; ■2), f(0)+f(1)+f(2)+……+f(n)=f(n+2)-1 ■3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)] 斐波拉契数列 - 【斐波拉契数列的存在】 甚至可以说，斐波拉契数列无处不在，以下仅举几条常见的例子 ■1．杨辉三角对角线上各数之和构成斐波拉契数列 ． ■2．多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n×2的棋盘，覆盖的方案数等于斐波拉契数列。 ■3． 从蜜蜂的繁殖来看，雄峰只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn。 ■4．钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波拉契数列有关。 ■5．自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列，也就是说在大多数情况下，一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……。 ■6．如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个斐波拉契数列 ． 斐波拉契数列 - 【斐波拉契数列与黄金分割】 菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。 不仅这个由1,1,2,3,5....开始的"菲波那契数"是这样,随便选两个整数,然后按照菲波那契数的规律排下去,两数间比也是会逐渐逼近黄金比的． 斐波拉契数列 - 【斐波拉契数列的变式】 ■１.帕多瓦数列：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……这样的数列称为帕多瓦数列。它和斐波拉契数列非常相似，稍有不同的是：每个数都是跳过它前面的那个数，并把再前面的两个数相加而得出的。这个数列可以用另一幅图来表示，它是由一些等边三角形构成的(如右图)。开始的三角形用灰色表示，为了使这些三角形天衣无缝地拼在一起，头三个三角形的边长均为1，其后的两个三角形的边长为2，然后依次是3、4、5、7、9、12、16、2l……等等。 ■２.冬冬有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？ 如果冬冬有3块糖、4块糖或者5块糖，都只有1种吃法；如果有6块糖，则有2种吃法；如果有7块糖，则有3种吃法；如果有8块糖，则有4种吃法；如果有9块糖，则有6种吃法． 既：吃糖的粒数：３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２．．． 糖的吃法：１ １ １ ２ ３ ４ ６ ９ １３ １９．．． 这样的数列，它和斐波拉契数列不同的是，每次都是跳过中间的那个数，再把第1、3两个数相加，等于第4个数。它的规律和斐波拉契数列既相似之处又有不同之处． ■３.小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？ 这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有五级楼梯，他有7种走法． 既：楼梯的级数：１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ．．． 上楼梯的走法：１ ２ ４ ７ １３ ２４ ４４ ８１．．． 这其中的规律就是，这里从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。 斐波拉契数列 - 【斐波那契数列通项公式的推导】 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2 解得C1=1/√5，C2=-1/√5 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的算术平方根) 通项公式的推导方法二：普通方法 设常数r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 则r+s=1, -rs=1 n≥3时，有 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 将以上n-2个式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1 上式可化简得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) （这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项和） =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) =(s^n - r^n)/(s-r) r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2 则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} |
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