| 词条 | 排列组合 |
| 释义 | § 历史 1772年，旺德蒙德以【n】p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。而欧拉则於1771年以 及於1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直 沿用至今。 1830年，皮科克引入符号Cr以表示由n个元素中每次取出 r个元素的组合数；1869年或稍早些，剑桥的古德文以符号nPr 表示由n个元素中每次取r个元素的排列数，这用法亦延用至今。按此法，nPn便相当於现在的n!。 1880年，鲍茨以nCr及nPr分别表示由n个元素取出r个的组合数与排列数；六年后，惠特渥斯以及表示相同之意，而且，他还以表示可重复的组合数。至1899年，克里斯托尔以nPr及nCr分别表示由n个不同元素中 每次取出r个不重复之元素的排列数与组合数，并以nHr表示相同意义下之可重复的排列数，这三种符号也通用至今。 1904年，内托为一本百科辞典所写的辞条中，以 表示上述nPr之意，以表示上述nCr之意，后者亦同时采用了。这些符号也一直用到现代。 § 组合数的奇偶 对组合数C(n,k) (n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。 组合数的奇偶性判定方法为: 结论： 对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。 证明： 利用数学归纳法： 由C(n,k) = C(n,k-1) C(n-1,k-1); 对应于杨辉三角： 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ……………… 可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下， C(n,k)满足结论。 1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数： 则有：(n-1)&k == k; (n-1)&(k-1) == k-1; 由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1 。 现假设n&k == k。 则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。 因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。 所以得n&k != k。 2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数： 则有：(n-1)&k != k; (n-1)&(k-1) != k-1; 现假设n&k == k. 则对于k最后一位为1的情况： 此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。 而对于k最后一位为0的情况： 则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。 相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。 而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。 则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。 所以得n&k != k。 由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。 3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数： 则有：(n-1)&k == k; (n-1)&(k-1) != k-1; 显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。 所以k的末尾必有一部分形如：10; 相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*; 相应的，k-1的对应部分为： 01; 则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0. 所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0) 所以 n&k = k。 4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数： 则有：(n-1)&k != k; (n-1)&(k-1) == k-1; 分两种情况： 当k-1的最后一位为0时: 则k-1的末尾必有一部分形如: 10; 相应的，k的对应部分为 : 11; 相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k) 相应的，n的对应部分为 : 1{*}1; 所以n&k = k。 当k-1的最后一位为1时: 则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的) 相应的，k的对应部分为 : 10; 相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k) 相应的，n的对应部分为 : 10; 所以n&k = k。 由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。 综上，结论得证! § 概述 定义 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。 排列：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。 排列数：从N个不同元素中取出M（M<=N）个元素的所有排列的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的排列数。记作：Pmn 排列数公式： Pmn =n(n-1)(n-2)...(n-m 1) 全排列：N个不同元素全部取出的一个排列，叫做N个不同元素的一个全排列。 自然数1到N的连乘积，叫做N的阶乘。记作：n! （0!=1） 全排列公式： Pnn =n! 排列数公式还可写成： Pmn = n!/(n-m)! 加法原理：做一件事，完成它可以有N类加法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，...，在第N类办法中有MN 种不同的方法。那么完成这件事共有 N=M1 M2 ... MN 种不同的方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，...，做第N步有MN种不同的方法，那么完成这件事共有 N=M1×M2×... ×MN 种不同的方法。 C-组合数 P-排列数 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘 ，如5！=5*4*3*2*1=120 组合：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合。 排列 与元素的顺序有关， 组合 与元素的顺序无关。 组合数：从N个不同元素中取出M（M<=N）个元素的所有组合的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的组合数。记作：Cmn 组合数公式： Cmn = Pmn / Pmm = n(n-1)(n-2)...(n-m 1)/m! = n!/m!/(n-m)! 组合性质1： Cmn = Cn-mn ( C0n =1) 组合性质2： Cmn 1 = Cmn Cm-1n C-Combination 组合 P-Permutation 排列 排列的变化 排列的变化,排列数“P”现在已成了“A”，P是旧用法，现在教材上多用A，即Arrangement也就是说，“P 3 3”已成了“A 3 3”.高考、中考也是这样，希望大家改过来！ 小学排列组合公式 1、“C m n”=“C m （m-n）” 2、“C m 0（m大于0）”=1 3、“C m 0” “C m 1” ...... “C m 10”=2的m次方 § 举例分析 排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。 排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。 解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。 |
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