| 词条 | 开立方 |
| 释义 | § 概述 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 § 开立方术 即开方立运算．最早的文字记载见于《九章算术》“少广”章．这一方法可以看作是开平方算法的推广．其方法是：“置积为实．借一算步之，超二等．议所得，以再乘所借一算为法，而除之．除已，三之为定法．复除，折而下．以三乘所得数置中行、复借一算置下行．步之，中超一，下超二等．复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法．以定法除．除已，倍下，并中从定法．复除，折下如前．开之不尽者，亦为不可开．若积有分者，通分内子为定实．定实乃开之，讫，开其母似报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之．讫，令如母而一．”根据术文，仿照“开平方术”不难给出这段术文的解释．刘徽在其注文中也利用正方体模型的分割对这一方法给出了直观的解释． 立方公式 设A = X^3，求X。这称为开立方。开立方有一个标准的公式： 开方公式 X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标） 例如，A=5，即求 5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式： 第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。 即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值，即1.7。 第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。 即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。 第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709. 第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099 这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值 偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3; 当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。 如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即 X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2. 例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。 5次方公式 这里顺便提一下5次方公式。 X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)1/5 . (n，n+1是下角标） 例如：A=5; 5介入1的5次方至2的5次方之间。2的5次方是32，5靠近1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。例如我们取中间值1.4； 1.4+（5/1.4^4-1.4)1/5=1.38 1.38+（5/1.38^4-1.38)1/5=1.379 1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797 计算次数与精确度成为正比。即5=1.3797^5。 这个公式的原理就是通过牛顿二项式定理在开方过程中转换成为牛顿切线法。 |
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