| 词条 | 定积分 |
| 释义 | § 概念 定积分定积分是一个和式的极限：把区间[a，b]分成n个小区间定积分，…，定积分，…，定积分，然后在每个小区间定积分上任取一点定积分，作和式定积分；令定积分，如果当定积分时，如果和式的极限定积分存在，则称这个极限值为函数定积分上的定积分。 即定积分，因此任何能写成上述和式极限的式子都能用定积分来表示。关键是确定被积函数 定积分 以及积分变量x。 § 几何意义 定积分定积分的几何意义为：它是介于x轴，函数定积分的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。若曲线定积分与直线x=a，x=b，y=0，所围成的曲边梯形的面积为A，则 (1)当定积分时，定积分； (2)当定积分时，定积分； (3)当定积分在［a，b］上有时取正值，有时取负值时，定积分定积分 § 基本运算 1．用定积分定义计算定积分 步骤：（1）分割；（2）近似代替；（3）求和；（4）取极限 2．比较定积分大小 根据性质：如果在区间［a，b］上，恒有定积分，则定积分。 因此，关键是比较被积函数的大小。 3．估计定积分的值 根据性质：如果m和M分别是定积分在区间［a，b］上，上最小值和最大值，则定积分。因此，关键是找出被积函数在积分区间的最小值和最大值。 § 基本性质 规定 (1) 当a=b时，定积分 (2) 当a>b时，定积分 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即 定积分 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即 定积分（k为常数） 性质3 定积分的区间可加性 若a定积分 性质4定积分 因f(x)≡1，所以定积分 性质5 若在区间[a，b]上，定积分则定积分。 性质6 设M及m分别是定积分在［a，b］上的最大值及最小值，则定积分 § 牛顿—莱布尼茨公式 若函数定积分在［a，b］连续，且F（x）为定积分在区间［a，b］的原函数，则定积分 由微分中值定理：定积分，使得定积分定积分几何意义: 设定积分在［a，b］上连续。存在一点定积分，使曲边梯形的面积 定积分与矩形面积定积分相等。 由积分第一中值定理：若定积分在［a，b］上连续，则定积分在［a，b］可取到其在［a，b］的平均值。 § 换元法与分部积分法 定积分的换元法 设函数f(x)在区间[a，b]上连续；函数g(t)在区间[m，n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m，n]上变化时，x=g(t)的值在[a，b]上变化，且g(m)=a，g(n)=b；则有定积分的换元公式：定积分 定积分的分部积分法 设u(x)、v(x)在区间[a，b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv'，分别求此等式两端在[a，b]上的定积分，并移向得：定积分 上式即为定积分的分部积分公式。 § 广义积分 在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于定积分了。为此对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限定积分存在，则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分，记作：定积分即：定积分＝定积分。 此时也就是说广义积分定积分收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分定积分发散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。 类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a<b.如果极限定积分存在， 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分，记作：定积分即：定积分＝定积分。 此时也就是说广义积分定积分收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分定积分发散。 如果广义积分定积分和定积分都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分，记作：定积分即：定积分＝定积分。 述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。 二：积分区间有无穷间断点的广义积分 设函数f(x)在(a,b]上连续，而定积分.取ε>0，如果极限定积分存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作：定积分即：定积分＝定积分，这时也说广义积分定积分收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分定积分发散。类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而定积分。取ε>0，如果极限定积分存在，则定义定积分=定积分；否则就说广义积分定积分发散。 又，设f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而定积分，如果两个广义积分定积分和定积分都收敛，则定义：定积分＝定积分＋定积分。否则就说广义积分定积分发散。 |
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