| 词条 | 埃尔米特插值多项式逼近 |
| 释义 | § 埃尔米特插值多项式逼近 § 正文 埃尔米特插值是一种常见的插值方法。假设在区间【α，b】上给定了n个互不相同的点x1，x2,…,xn以及一张数表 (*)记m=α1+α2+…+αn。早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式Hn(x),使得 ,Hn(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在【α，b】上的函数 ƒ(x)在xk(k=1，2，…,n)处有αk-1阶导数，并取，则称相应的Hn(x)为ƒ(x)的以为结点组的(α1,α2,…,αn)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若诸αk都为1,则Hn(x)就是ƒ(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1，则Hn(x)为ƒ(x)的α1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸αk都为2的情况,这时Hn(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写 Hn(x)可表示为 在这种情况下，常取,而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度，需对其导数作一定的要求。 为了简单，考虑定义区间为【-1,1】的情况。L.费耶尔首先让，称 为函数ƒ(x)的埃尔米特－费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组, 则有绝对常数с，使得对于【-1,1】 上的任一连续函数ƒ(x)都有 式中-1≤x ≤1，ω(ƒ,δ)为ƒ(x)的连续性模。然而，用ƒn(ƒ,x)逼近ƒ(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/n。若 关于【-1,1】上的x均匀成立,则ƒ(x)是个常数。但是对于其他结点组，会有较大的差异。例如，取勒让德多项式 的零点全体为结点组时,对于【-1,1】上的连续函数ƒ(x)，相应的ƒn(ƒ,x)仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛于ƒ(x)，为了使n→∞时，Fn(ƒ，x)在【-1,1】上一致收敛于ƒ(x)，充分必要条件是 。这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有，它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点xon=1,xn+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+1(ƒ,x),即假定结点组是取在开区间(-1,1)中的,而2n+1次代数多项式Q2n+1(ƒ,x)满足条件 ， 。这时，如取为Xn(x)的零点全体，则 。当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而，倘若将端点作为结点，又会发生剧烈的变化。例如，取 , ，则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列Fn+2(ƒ,x)，对于 ƒ(x)=x2这样好的函数，也会在(-1,1)中处处发散。而取 为结点组时,相应的Fn+2(ƒ,x)对于连续函数ƒ(x)却有逼近阶 。埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如，可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求，这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0,2)插值,也即对于给定的结点组以及数组,，要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得 ，,(k=1,2,…,n)。当取αkn=ƒ(γkn)时，考虑S2n-1(ƒ,x)对ƒ(x)的逼近，也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如，取 为结点，对于【-1,1】上的可微函数，考虑 对ƒ(x)及ƒ'(x)的同时逼近。此时有 至于对于无限区间或周期函数的情形，自然也可作类似的讨论，只是在周期的情形，有时插值三角多项式却未必存在。 至于ƒ(x)的(α1,α2,…,αn)阶埃尔米特插值多项式Hn(x)对ƒ(x)的逼近,如果ƒ(x)在【α,b】上有m阶导数,则在【α,b】中有与x有关的点ξ使得 ，式中。 § 配图 § 相关连接 |
| 随便看 |
百科全书收录594082条中文百科知识，基本涵盖了大多数领域的百科知识，是一部内容开放、自由的电子版百科全书。