| 词条 | 卢津问题 |
| 释义 | § 卢津问题 § 正文 又称卢津猜想，傅里叶级数理论中的一个著名问题。1913年俄国数学家Η.Η.卢津在他发表的一篇论文中，提出了如下的猜想:区间【0,2π】上平方可积函数的傅里叶级数,在【0,2π】上几乎处处收敛。这个猜想经过半个多世纪许多数学家的努力，终于被瑞典数学家L.卡尔森于用非常深刻的数学方法所证实。 傅里叶级数理论是19世纪初，从关于热传导的研究中产生的。中心问题是:怎样的函数可以用它的傅里叶级数来表示?随着勒贝格测度、勒贝格积分理论的创立,傅里叶级数的几乎处处收敛问题逐渐为人们所重视。1906年，P.J.L.法图首先证明，假如 W(n)=n， (1)则傅里叶级数 (2)在【0，2π】上几乎处处收敛。1909年，H. 外尔指出，当W(n)=n1/3时，结论仍成立。1913年，E.W.霍布森把条件降低为W(n)=nε,ε是任意小的正实数。同年,M.普朗歇尔和G.H.哈代把W(n)分别改进到log3n和log2n。卢津又进一步提出他的猜想，认为W(n)=1(即(2)是平方可积函数的傅里叶级数)时，级数(2)就几乎处处收敛。 卢津的猜想是以他在一系列研究工作中得到的两个结果为根据的：①以2π 为周期的平方可积函数ƒ的傅里叶级数几乎处处收敛的充分必要条件是等式 (3)在【0，2π】上几乎处处成立，其中愝是ƒ的共轭函数,积分表示柯西-勒贝格积分②在上述条件下,积分 (4)在【0，2π】上几乎处处存在，并且是有限的。 考虑到n→∞时，cos nx在【0，2π】上出现正值和负值的机会相等，因此卢津认为，对于平方可积函数，从(4) 的几乎处处有限性很可能导致式(3)在【0，2π】上几乎处处成立，从而ƒ的傅里叶级数几乎处处收敛。 卢津猜想发表之后，引起了世界上许多第一流数学家的关注。在长长的53年中,这个猜想既不能被证实,也无法被否定。但是围绕着它，出现了从正反两方面研究的一些重要成果。1923年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫构造了一个可积函数，它的傅里叶级数几乎处处发散。1926年他又发现了一个傅里叶级数处处发散的可积函数。但这两个可积函数都不是平方可积的。因此卢津猜想不能被否定。从肯定方面来接近卢津猜想的,则有1925年柯尔莫哥洛夫、Γ.A.谢利维奥尔斯托夫和A.普莱斯纳的工作。他们把W(n)进一步降低到logn，但这离卢津猜想的证实仍有很大距离。以后的40多年没有什么显著的进展。基于上述柯尔莫哥洛夫的两个反例，在相当一部分有影响的数学家中，逐渐产生了否定卢津猜想的倾向。例如1946年,在为纪念美国普林斯顿大学建校200周年举行的数学问题讨论会上，A.赞格蒙就认为，在三角级数理论方面提出猜想，根据历史的经验，往往是要失败的。他指出，甚至连续函数的傅里叶级数是否必有收敛点都还不清楚。他是从否定卢津猜想的角度来考虑的。其后，卢津猜想一般就改变成两个带有倾向性的正反两方面的问题：①是否存在连续函数，它的傅里叶级数在某个正测度的点集上发散？②是否所有连续函数的傅里叶级数都几乎处处收敛？把问题集中到连续函数，这就反映了一定程度的倾向性,即认为原来的卢津猜想未必成立。可是改变后的卢津问题的证明仍没有多大进展。直到1959年,A.-P.考尔德伦指出,如果一切平方可积函数ƒ的傅里叶级数的部分和序列Sn(ƒ,x)几乎处处收敛,那么应当成立以下的不等式： mes{…}表示点集的勒贝格测度，C是绝对常数。最后，于1966年,卡尔森利用哈代-李特尔伍德极大函数和考尔德伦的上述原理，以十分精巧的数学论证，证实了卢津猜想。 § 配图 § 相关连接 |
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